Irisan Kerucut
Kode MAT 10
Penerjemah:
dr. Mega Tegoh B, M.
penerbit:
dr. Manuharawati, MSi.
tongkat Koserini, M.Pd.
Departemen Proyek Pengembangan Kurikulum
Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan
Direktur Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah
Menteri Pendidikan
2004
sebuah pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan materi ajar satuan manual SMK Adaptif yaitu mata pelajaran Fisika, Kimia dan Matematika. Unit ini disusun dengan menggunakan pendekatan pembelajaran berbasis kompetensi, sebagai hasil logis dari kurikulum sekolah menengah edisi 2004 menggunakan pendekatan pelatihan berbasis kompetensi (CBT).
Sumber utama dan materi pembelajaran kurikulum SMK edisi 2004 bersifat modular, manual dan interaktif, mengacu pada National Skills Standards (NSS) atau standar dunia kerja dan industri. Dengan modul ini diharapkan dapat digunakan sebagai sumber belajar utama oleh peserta diklat untuk mencapai standar keterampilan kerja yang diharapkan oleh dunia kerja dan industri.
Unit ini disusun dalam beberapa tahapan proses, mulai dari penyiapan materi unit, hingga penyusunan teks tertulis dan kemudian pembentukannya dengan bantuan perangkat IT, serta validasi dan pengujian empiris dalam skala terbatas. . Dasar. Verifikasi dilakukan dengan teknik expert judgement, sedangkan uji empiris dilakukan pada peserta yang berbeda diklat. Modul yang telah diselesaikan diharapkan dapat menjadi bahan pembelajaran dan sumber daya yang berharga untuk membekali peserta pelatihan dengan keterampilan kerja yang diharapkan. Namun karena dinamika perubahan ilmu pengetahuan dan teknologi dalam industri yang sangat cepat, maka perbaikan atau revisi akan selalu diharapkan dari unit ini agar selalu sesuai dengan kondisi lapangan.
Kerja keras ini dapat terselesaikan, dengan banyak dukungan dan bantuan dari berbagai pihak patut diapresiasi dan mengucapkan terima kasih. Jadi, tidak dalam kasus ini
Tidaklah berlebihan rasanya untuk menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim pengisi formulir (penulis, editor, staf komputer, pakar desain grafis) atas dedikasi dan pengorbanan waktu, tenaga dan gagasannya. Untuk menyelesaikan persiapan unit ini.
Saran dan kritik dari para psikolog, pakar bisnis dan industri, serta pakar akademik sangat kami harapkan sebagai bahan untuk meningkatkan kualitas unit. Pengguna diharapkan menghormati prinsip-prinsip implementasi, adaptabilitas dan fleksibilitas, mengacu pada perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi di dunia usaha dan dunia industri, potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri untuk menyediakan modular do. keterampilan bagi peserta pelatihan.
Oleh karena itu, saya berharap modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, terutama bagi mereka yang terlibat dalam adaptasi profesional pelatihan kejuruan matematika, fisika dan kimia atau bagi para profesional yang mengembangkan modul pendidikan untuk sekolah menengah kejuruan.
Jakarta, Desember 2004
Direktur Jenderal Pendidikan
sekolah dasar dan menengah
Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan,
dr. Eh. Gatot Harry Brewerganto, Master Kneipp 130675814
ringkasan
? halaman pertama saya
? Halaman Fransiskus II
? Pendahuluan III
? ringkasan
? Unit peta situs ketujuh
? Daftar judul satuan VIII
? Glosarium IX
I. penampilan
Deskripsi 1
B- Kondisi 1
C- Instruksi untuk menggunakan Formulir 1
D. TUJUAN SANGAT BAIK 2
E- Yurisdiksi 3
Dan. Periksa keterampilan 5
II. Pelajaran keenam
sebuah. Rencana studi untuk peserta pelatihan
B. Kegiatan Belajar 7
1. Kegiatan Belajar 1 7
sebuah. Tujuan kegiatan pembelajaran 7
B. Deskripsi Bagian 7
c. Ringkasan 20
Dr.. Misi 21
Dan. Kunci jawaban kegiatan 21
P.23 Tes formatif
g. 24 tombol umpan balik formatif
2. Kegiatan Belajar 2 25
sebuah. Tujuan kegiatan pembelajaran 25
B. Deskripsi fisik 25
c. 36. Ringkasan
Dr.. 37 misi
Dan. Kunci jawaban kegiatan 37
H. 39. Tes formatif
g. 39- Kunci jawaban formatif
3. Kegiatan Belajar 3 41
sebuah. 41 Tujuan kegiatan pembelajaran
B. Deskripsi Fisik 41
c. 51. Ringkasan
Dr.. Misi 51
Dan. 52- Kunci Jawaban Kustom
P.53. Tes formatif
g. 54- Kunci jawaban formatif
4. Kegiatan
Belajar 4 55
sebuah. Tujuan kegiatan pembelajaran 55
B. Deskripsi fisik 55
c. Ringkasan 61
Dr.. Misi 62
Dan. 62- Kunci untuk menjawab tugas
F. Tes Formatif 64
g. 64. kunci jawaban formatif
Ketiga. penilaian ................................................ . .. ................................ 66
Kunci evaluasi
................................................... .. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………… 67
Keempat. Interupsi ................................................. . ................................................. . ............... .. ...69
Daftar Pustaka ................................................................... .. .. .. ........................................ 70
unit peta posisi
Daftar judul unit
Kode Model Nomor Alamat Model
1 MAT.01 Matriks K
2 MAT.02 Logika matematika
3 MAT.03 Persamaan dan pertidaksamaan
4 MAT.04 2D geometri
5 MAT.05 Hubungan dan fungsi
6 MAT.06 Geometri 3D
7 MAT.07 PELUANG
8 MAT.08 bilangan real
9 MAT.09 Trigonometri
10 meninggal. 10 cakram kerucut
11 statistik MAT.11
12 meninggal. 12 baris
13 meninggal. 13 kesalahan pembulatan
14 Program Linier MAT.14
15 vektor MAT.15
16 meninggal. 16 Matematika Keuangan
Daftar Istilah
Deskripsi kondisi
Lingkari himpunan titik-titik di pesawat (di pesawat)
Jarak tetap dari suatu titik tertentu. poin berikutnya
Ini disebut pusat lingkaran.
Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan setiap titik
Lingkaran dan pusat lingkaran.
Elips himpunan titik (pada bidang) dan jumlah mereka
Jarak dari dua titik tetap tetap sama.
Parabola: himpunan titik-titik pada bidang
Jarak tetap dari titik tertentu dan garis lurus
tentu saja. Poin ini disebut fokus peribahasa, sedangkan
Garis itu disebut garis tren atau? bos. khotbah
Dapat ditarik jika Anda mengetahui arah dan sumbu
Aku berbaring di telepon.
Hiperbola Himpunan titik (dalam bidang) yang menyimpang
Jarak dari dua titik tetap tetap sama.
Inilah sebabnya mengapa titik dua disebut titik fokus hiperbola.
Bab Satu Pendahuluan
sebuah deskripsi
Di unit ini Anda mempelajari 4 kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 berbentuk lingkaran, kegiatan belajar 2 berbentuk elips, kegiatan belajar 3 berbentuk parabola, dan kegiatan belajar 4 merupakan hiperbola. Pada kegiatan pembelajaran 1, atau lingkaran, akan dijelaskan unsur-unsur dan deskripsi lingkaran, persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan di (a,b) akan dijelaskan. Juga dibahas adalah persamaan tangen lingkaran, garis singgung persekutuan luar dan dalam. Pada kegiatan pembelajaran 2 akan dijelaskan elips pada elips, unsur-unsur dan deskripsinya, persamaan elips, persamaan garis singgung dan penerapannya. Pada kegiatan pembelajaran 3 akan dibahas parabola, unsur-unsur dan deskripsinya, persamaan parabola dan persamaan tangen parabola serta penerapannya. Pada kegiatan pembelajaran 4, Ini adalah hiperbola, akan dibahas unsur-unsur dan deskripsi persamaan hiperbolik.
B.kondisi
Persyaratan dasar untuk mempelajari satuan ini adalah kongruensi, jarak, paralelisme, tegak lurus dan fungsi. Semua materi prasyarat ini tercakup dalam modul Hubungan dan Fungsi dan Geometri Bidang dan Spasial.
C- Petunjuk penggunaan formulir
Untuk mempelajari unit ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut.
1. Pelajarilah rangkuman dan ikhtisar unit dengan cermat, karena rangkuman dan ikhtisar akan memandu Anda dalam mempelajari unit ini dan hubungannya dengan modul lain.
2. Pembelajaran unit ini harus berurutan, karena materi yang mendahuluinya merupakan prasyarat untuk mempelajari materi selanjutnya.
3. Pahami contoh soal yang ada dan kerjakan semua soal latihan yang ada. Jika mengalami kesulitan dalam memecahkan masalah, kembalilah pada kajian materi yang relevan.
4. Ajukan pertanyaan evaluasi yang cermat. Jika Anda mengalami kesulitan mengerjakan soal penilaian, kembalilah mempelajari materi yang relevan.
5. Jika Anda memiliki masalah yang tidak dapat Anda selesaikan, tuliskan, kemudian tanyakan kepada guru selama kegiatan satu lawan satu atau baca referensi lain untuk materi di unit. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan tambahan pengetahuan.
D. Tujuan akhir
Setelah mempelajari unit ini Anda diharapkan dapat:
1. Tentukan persamaan lingkaran dan elemen-elemennya,
2. Gunakan rumus bayangan untuk menyelesaikan masalah,
3. Gunakan panjang tangen persekutuan luar untuk menyelesaikan soal,
4. Temukan persamaan elips dan elemen-elemennya,
5. Gunakan persamaan elips untuk menyelesaikan masalah,
6. Tentukan persamaan parabola dan elemen-elemennya,
7. Menggunakan persamaan ekuivalen untuk menyelesaikan masalah penentuan frekuensi harapan dari suatu kejadian,
8. Temukan persamaan hiperbola dan elemen-elemennya,
9. Menggunakan persamaan pendefinisian untuk memecahkan masalah.
E. Efisiensi
KETERAMPILAN
Spesialisasi kursus: Durasi mempelajari kode kursus
: cakram kerucut: perangkat lunak yang dapat disesuaikan
: MATHS / MAT10: 56 jam @ 45 menit
bahan ajar
Standar kinerja untuk subketerampilan Cakupan untuk mempelajari sikap kognitif
1. Implementasi konsep? Elemen melingkar? Elemen melingkar? Akurat dan presisi? Tentukan item? menggambar slide
Sirkuit dijelaskan menurut
Berbeda? persamaan lingkaran
? Garis bayangan sekutu asing di pemukiman
masalah chip sirkuit
? Tentukan persamaan kerucut.
? menggunakan
? Persamaan lingkaran kerucut lingkaran Persamaan lingkaran,
ditentukan berdasarkan? Tentukan parabola, elips,
Elemen yang dikenal sebagai nuansa umum kelebihan dalam
? Bayangan sekutu asing? Penentuan panjang potong
Ini diambil dari dua nuansa umum dari masalah persimpangan
lingkaran terkenal? Implementasi konsep Ling Kun.
? Panjang garis yang menyentuh lingkaran dalam
Pembubaran sekutu internal dan eksternal
2. Implementasi konsep
Parabola menghitung jari-jari kedua e
Jarak pusat kedua lingkaran
? Konsep lingkaran
BERLAKU
temukan kesalahan dan perbaiki
para profesional.
? elemen paraba
Jelaskan menurut
Berbeda? elemen paraba
? Persamaan parabola dari
grafis? menyadari sepenuhnya
pada akhirnya
Masalah segmen masalah profesional
? elemen paraba
- Direktori
- koordinat titik
? Membandingkan puncak parabola
Itu ditentukan oleh - koordinat titik pusat
Elemen yang Diketahui - Perbandingan sumbu
? Bagaimana konsep peribahasa yang diterapkan? Tabel perbandingan
dalam larutan ekivalen
Masalah karir? penerapan konsep
bola yang dalam
menyelesaikan
Masalah profesional
bahan ajar
Standar kinerja untuk subketerampilan Cakupan untuk mempelajari sikap kognitif
3. Implementasi konsep
Bentuk oval? elemen elips digambar
Deskripsi berbasis atribut
? Persamaan elips ditentukan
berdasarkan elemen
sebuah bantuan
? Konsep elips berlaku
penuh
Masalah profesional. ? elemen oval
? Persamaan elips e
grafis? menyadari sepenuhnya
pada akhirnya
masalah pemotongan
tenggorokan? definisi elips
? persamaan elips
? elemen oval
- koordinat titik
puncak
- koordinat titik pusat
Fokus koordinat
- Spesialisasi dan As
keledai kecil
? Menggambar elips
? penerapan konsep
elips bagian dalam
menyelesaikan
Masalah profesional.
4. Draf aplikasi
hiperbola? Unsur hiperbola
Jelaskan menurut
Karakteristik
? persamaan hiperbolik
ditentukan berdasarkan
Artikel populer
? konsep hiperbola
BERLAKU
temukan kesalahan dan perbaiki
profesional? Unsur hiperbola
? persamaan hiperbola e
Tanda. ? menyadari sepenuhnya
pada akhirnya
masalah pemotongan
tenggorokan? Definisi hiperbola
dan elemennya:
- titik fokus
- sorotan
- titik fokus
- asimtot
- poros utama
- rahmat kecil
? Menggambar parabola
? penerapan konsep
hiperbola yang dalam
menyelesaikan
Masalah profesional.
Dan. tes keterampilan
Ajukan pertanyaan-pertanyaan berikut Jika Anda dapat mengajukan beberapa atau semua pertanyaan berikut, Anda dapat meminta guru atau guru langsung untuk mengerjakan pertanyaan penilaian untuk materi yang Anda pelajari di Bab 3.
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 4.
2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat a (a, b) dan jari-jari 4.
3. Tentukan persamaan elips dengan pusat O (0,0) dengan sumbu panjang 8 dan sumbu pendek 4.
4. Tentukan persamaan elips dengan pusat P (-2,5) dengan sumbu panjang 8 dan sumbu pendek 4.
5. Tentukan koordinat titik panas elips
2 2
xy?? 1
. 100 36
2
6. Temukan persamaan elips yang simpangan numeriknya e = 3 salah
Sebuah titik fokus adalah F (6.0).
7. Temukan titik pivot dan persamaan arah parabola y2 = 24x.
8. Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik M dan titik pusat parabola y2 = 20x, jika limit titik M adalah 7.
9. Tentukan nilai ek sehingga persamaan y = kx + 2 menyentuh parabola y2 = 4x.
10. Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya (0,0) dan panjang sumbu hiperbola berturut-turut adalah 16 dan 12. Tentukan juga jarak antara dua fokus, persamaan sederhana, dan asimtot.
11. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat (0,0) s dan eksentrisitas
13
adalah 12 sedangkan jarak antara dua fokus adalah 10.
B. kegiatan belajar
1. Kegiatan Pembelajaran 1: Lingkari
sebuah. Tujuan kegiatan mengajar
Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran 1 ini, kami berharap Anda dapat menggambarkan bagian kerucut, yaitu lingkaran dengan pusat dan jari-jarinya. ? Memahami elemen rangkaian.
? Tentukan persamaan lingkaran jika pusat dan jari-jarinya diketahui. ? Hitunglah panjang garis persekutuan luar dan dalam dari kedua lingkaran tersebut.
? Dia bisa menggambar bayangan luar dan dalam dari dua lingkaran. ? Itu dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan sabuk.
B. Deskripsi Barang
Kurva lengkung sederhana dan halus yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah lingkaran. Buat kerucut dari kertas Manila lalu potong sejajar dengan bidang alasnya. Apa bentuk permukaan pemotongan kerucut? Permukaan pemotongan kerucut berbentuk lingkaran.
Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai sekumpulan titik (pada bidang) yang berjarak tetap dari suatu titik tertentu. Maka titik tersebut disebut pusat lingkaran. Ruas garis yang menghubungkan setiap titik pada lingkaran dan pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Jadi lingkaran dapat dibuat jika pusat dan jari-jari lingkaran diketahui.
Tentukan persamaan lingkaran
Ambil sembarang titik pada lingkaran, katakan T(x1, y1), dan tetapkan O sebagai pusat lingkaran.
Gambarlah garis sepanjang T tegak lurus terhadap sumbu x, misalnya di T1.
melihat? atau T1T
? O T1T adalah segitiga siku-siku yang membentuk sudut siku-siku di titik T1.
Oleh karena itu, teorema Pythagoras mengatakan:
atau T12 + T1T2 = OT2
x 1 2 + y 12 = t 2
Karena berlaku untuk semua titik pada lingkaran, maka x2 + y2 = r2
x2 + y2 = r2
adalah persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r
Contoh 1
sebuah. Persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 9
B. Persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 25
c. Persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 1 adalah x2 + y2 = 1
Contoh 2
sebuah. x2 + y2 = 16 lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 4
B. x2 + y2 = 4 lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 2
tikar. 10. Memotong kerucut 8
Persamaan lingkaran pusat bukan (0.0)
Ambil sembarang titik pada lingkaran, misalkan T (x1, y1) dan titik P (a, b) sebagai pusat lingkaran.
, y1) Tarik garis melalui T tegak lurus terhadap sumbu x, misalnya di T1.
Tarik garis melalui titik P sejajar sumbu x dan berpotongan dengan TT1
T1 titik x.
melihat? PCT. ? PQT adalah segitiga siku-siku di titik Q, TQ = (y1 - b) dan PQ = (x1 - a).
Jadi Teorema Pythagoras membuktikan: PQ2 + QT2 = OT2
(x1 - a) 2 + (y1 - b) 2 = r2
Karena ini benar untuk setiap titik T (x1, y1) pada keliling, kita terapkan (x - a) 2 + (y - b) 2 = r2
(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2
adalah persamaan lingkaran pusat (a,b) jari-jari r
Contoh 3
Tentukan persamaan lingkaran dengan
sebuah. Pusat (2, 3) dan radius 5
B. Pusat (-3.1) dan Radius 2
c. Pusat solusi (2, -2) dan radius 1
sebuah. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 5 adalah
(x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 25
B. Persamaan lingkaran dengan pusat (-3, 1) dan jari-jari 2 adalah
(x + 3) 2 + (y - 1) 2 = 4.
c. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, -2) dan jari-jari 1 adalah (x - 2) 2 + (y + 2) 2 = 1
Contoh 4
Cari koordinat pusat dan jari-jari lingkaran menggunakan persamaan 4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0
larutan
4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas habis dibagi 4
x2 + y2 -x + 4y - 4 19 = 0
x2 -x + y2 + 4y - 4 19 = 0 kamu mendapatkan kuadrat sempurna
x2 -x + 4 1 + y2 + 4y +4 = 4 19 + 4 1 + 4
(x - 2 1) 2 + (y + 2) 2 = 9
1
Jadi koordinat pusat lingkaran adalah (2, -2) dan jari-jarinya adalah 3
Contoh 5
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P (1, 3) dan untuk titik Q (-2.5)
larutan
Jari-jari lingkaran adalah panjangnya
2
r = PQ = (xP? xQ) 2 (y P? y Q)
2
r = PQ = (1??2) 2 (3?5)
y = QQ = 13
Jadi persamaan lingkarannya adalah (x - 1) 2 + (y - 3) 2 = 13
Bentuk umum persamaan lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran diperoleh dengan menurunkan persamaan lingkaran yang pusatnya bukan (0,0) sebagai berikut:
(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2
x –2ax + a2 + y2 –2by + b2 = r2
x2 + x2 –2ax –2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 –2ax –2by + a2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0, dimana A = -2a, B = -2b dan C = a2 + b2 - r2
1 1
atau a = -2a, b = - 2b dan y =? A2)?? B2? c
() (
2 2
Contoh 6
Cari koordinat pusat dan jari-jari lingkaran menggunakan persamaan 4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0
larutan
4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas habis dibagi 4
x2 + y2 -x + 4y - 419 = 0
19 1 1
a = -1, b = 4, c = - 4, jadi pusat lingkaran) 1, -2) dan,
(? A ? B = (2
2 2
1 1 1 19
? A2 B2? c =? ? 2) 2+
jari-jari y = () (
2)??
2 (2) 2 (4
y = 9 = 3
1
Jadi koordinat pusat lingkaran adalah (2, -2) dan jari-jarinya adalah 3
Bandingkan jawaban ini dengan contoh 4. Mana yang lebih mudah?
Contoh 7
Tentukan persamaan keliling yang melalui tiga titik P (1,0), Q (0,1) dan R (2.2).
larutan
Misalnya, persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Titik P(1,0) pada lingkaran berarti 12 + 02 + A.1 + B.0 + C = 0
A + C = -1 atau A = -1 - C (1) Titik Q (0,1) pada lingkaran berarti 02 + 12 + A.0 + B.1 + C = 0
B + C = -1 atau B = -1 - C (2) berarti titik R(2,2) pada lingkaran 22 + 22 + A.2 + B.2 + C = 0
2A + 2B + C = -8 ............... (3) Substitusi (1) dan (2) ke (3) menghasilkan 2 (-1 - C ) + 2 (-1-C) + C = - 8
-2 - 2 C –2 –2 C + C = 0
-3c = -4
4
c = 3
7
Dari (1) kita mendapatkan A = - 3
7
Dari (2) kita dapatkan B = - 3
Jadi persamaan kelilingnya adalah x2 + y2 - 3 7 x - 3 7 y + 3 4 = 0
Perbandingan garis kondisi
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik.
sebuah. Kemiringan garis singgung diketahui dan kelilingnya berpusat di (0,0), kita katakan bahwa persamaan garis singgungnya adalah: y = mx + k sehingga ada titik pada keliling: x2 + y2 = r2 yang memenuhi persamaan tangen di atas. Dengan ekstensi:
x2 + (mx + k) 2 = r2
x2 + m2x2 + 2mkx + k2 = r2
(1 + m2) x2 + 2mkx + k2 - r2 = 0; Ini adalah persamaan kuadrat dalam variabel x. Jadi persamaan kuadrat memiliki
Nilai ex, maka kondisi karakteristik persamaan harus sama dengan nol, yaitu: D = 0.
(2 mk) 2 - 4. (1 + m 2). (k2 - r2) = 0
4 M2 - 4 (K2 + M2 - M2 - M2) = 0-4 (K2 - R2 - M2) = 0
k2 - r2 (1 + m2) = 0
k = ? r2 1? m
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = mx? s
Contoh 8
Tentukan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 16 dengan gradien 3 solusi
Persamaan tangen x2 + y2 = r2 dengan gradien
m adalah y = ms? s
y = 3x? 4 2 1? 3
y = 3x? 4 10
B. Gradien berlian diketahui dan lingkaran berpusat di (a, b) Anda dapat memperoleh rumus yang mirip dengan di atas. Anda dapat menemukan persamaan garis singgung
Sebuah lingkaran berpusat di (a,b) yaitu yb = m (xa)? halaman 2
1? m
Persamaan tangen (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2
Dimana gradien m adalah y - b = m (x - a)? halaman 2
1? m
Contoh 9
Tentukan garis singgung lingkaran (x + 3) 2 + (y - 1) 2 = 4 dengan gradien -2
larutan
Persamaan tangen x2 + y2 = r2 dengan gradien
Apakah - b = m (x - a)? halaman 2
1? m
y -1 = 3 (x + 3)? 2 2
1? ? (2)
y = 3x + 10? 4
c. Persamaan garis singgung jika titik singgung lingkaran yang berpusat di (0,0) diketahui.
Misalnya, garis singgung di T(x1, y1) adalah persamaan garis: y –y1 = m (x -
x 1)
xy
2 1
dimana m = Tg? =
SS
2 1
Jadi persamaan garis yang melalui PQ adalah
xy
2 1
p - p 1 =
SS
2 1
q dalam lingkaran sehingga:
2 + y12 = r2 x1
x dalam lingkaran sehingga:
2 + y22 = r2 x2
x12 + y12 = x22 + y22 atau x12 - x22 = (x1 - x2) (x1 + x2) = (y2 - y1) (y2 + y1) yy
? xy
?
21 2 1
?
xx
? xx
?
1 2 1 2
xy
? xy
?
2 1 2 1
? ?
xx
? xx
?
2 1 2 1
xx
?
2 1
Jadi y- y1 = ? (x - x1)
xy
?
2 1
Jika QP didekati dengan cara yang mendekati x2 = x1 dan y2 = y1, di mana PQ = 0.
X
y - y1 = ? (x - x1)
1
ya 1
y1y - y12 = - x1x + x12 x1x + y1y = x12 + y12 x1x + y1y = r2
Contoh 10
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (3,-4)
larutan
Persamaan garis singgung di titik singgung (3, -4)
Pada lingkaran x2 + y2 = 25 3x - 4y = 25
Dr.. Titik kontak pada keliling yang berpusat di (a,b) dikenal sebagai
Persamaan lingkaran pusat di (a, b) adalah (x - a) 2 + (r - b) 2 = r2, ini dapat diubah menjadi (x - a) (x - a) + (r - b) (r - b) = r2.
Mirip dengan apa yang kita pelajari di atas, persamaan garis singgung adalah (x1 - a) (x - a) + (y1 - b) (y - b) = r2.
atau
x1x + y1y - a (x + x1) - b (y + y1) + a2 + b2 = r2 x1x + y1y - a (x + x1) - b (y + y1) + a2 + b2 - r2 = 0
x1x + y1y - (-A
1) (x + x 1) - (-b
1) (y + y1) + a2 + b2 - r2 = 0
2 2
1 1
Mengapa a = - 2a, b = - 2b dan y =? A2)?? B2? c (lalu) (
2 2
1 (x + x 1) + b
1 (y + y 1) + c = 0
x1x + y1y + A
2 2
Persamaan garis singgung pada titik singgung (x1, y1) terhadap keliling x2 + y2 + Ax + By + C = 0, adalah
1 (x + x 1) + b
1 (y + y 1) + c = 0
x1x + y1y + A
2 2
Contoh 11
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 6x - 4 y -4 = 0 di titik (1,1)
larutan
Dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x - 4 y -4 = 0 kita peroleh A = 6, B = -4 dan C = -3. Jadi, persamaan garis singgung di titik (1,1) adalah:
1 (x + x 1) + b
1 (y + y 1) + c = 0 x 1 x + y 1 y + a
2 2
x + y +3 (x + 1) + -2 (y + 1) - 4 = 0 x + y + 3 x + 3 – 2 y - 2 - 4 = 0 4 x - y - 3 = 0
Contoh 12
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 6) 2 + (y + 2) 2 = 16 di titik (2,2).
larutan
Persamaan garis singgung di titik (1,1) adalah:
(x1 - a) (x - a) + (y1 - b) (y - b) = r2.
(2-6)(x - 6) + (2 + 2)(y + 2)) = 16
-4 (x - 6) + 4 (y + 2)) = 16 atau -4 x + 24 + 4 y + 8 = 16
-4 x + 4 y = -16, jika kedua ruas dikalikan - 4 1 diperoleh:
x - y = 4 adalah persamaan tangen yang diperlukan.
Perbandingan minat dan jalur terkait di luar negeri
Lihat gambar di samping. Diketahui dua lingkaran yaitu L1 dan L2 berjari-jari berurutan r1 dan r2, dengan r1 > r2, sedangkan jarak pusat kedua lingkaran adalah d. T1T2 disebut segmen tangen eksternal bersama.
Berapakah panjang ruas garis singgung persekutuan luar yang menghubungkan kedua lingkaran tersebut?
larutan:
لما? T1T2Q tegak lurus T1 T2 Q = P1P2 = de T1Q = r1 - r2
اغورس ل لى T1T2 =
T1T2 =
ل الظل المحبيل الذهب ايرتين ا r1 r2 r1> r2 , المسافة القربين = d
dia adalah 2
(d) 2? ? (ص )
1 2
Contoh 13
اوجد ل الماس الثلاق الدواير الدواير المعادلة x2 + y2 + 4x + 6y -4 = 0 dan x2 + y2 + 10x + 14y –10 = 0.
larutan
Letakkan lingkaran di x2 + y2 + 2x -10y + 1 = 0 dan pusatnya di (1, -5) dan setengah lingkaran adalah 5 tentang x2 + y2 + 12x + 14y -15 = 0 dan pusatnya di (6,7 ) dan setengah lingkaran adalah 10
Jarak lingkaran = = (1? 6) 2? (?? 57) 2
= (? 5) 2? ? (12) 2
d = 13
2
(d) 2 ?? (ص ) 1 2
= (13)2? (10?5)2 = 169? 25 = 144 = 12
Lihat gambar di samping. المعرف دايرتين , L1 dan L2 , لهما الي r1 dan r2 المسافه الدواير d. disebut T1T2 الذل المنتدية المعلومات.
а о ат акім аммас е ат е айртин?
larutan:
ارسم ا ا البيقة P2 الموازية لـ T1T2 P2R
ا لًا البيقة P1 الموازية لـ T1T2 , اي P1Q العربية الرباعي P1QP2R ;
T1T2? P2Q dan T1T2? P1R lalu P2Q // P1R …… .. (1) T1T2 // P2R dan T1T2 // P2Q lalu P2R // P2Q ………… (2)
luar biasa? P1QP2 = kabir? P1QP2 = 900 (зд) ............... (3)
(1) dan (2) dan (3) topik ان تلاس الربعع P1QP2R ازة.
manifestasi? P1Q P2 اوية لماء لى Q. لة فيثاغورس
(P1P2) 2 = (P1Q) 2 + (QP2) 2 (P1P2) 2 = (T1T2) 2 + (r1 + r2) 2 (d) 2 = (T1T2) 2 + (r1 + r2) 2
(d) 2? ? (ص ) 2
1 2
Contoh 14
ل الماس الإلى المعلومة الدواير المعدلة المعدلة x2 + y2 + 2x + 4y + 4 = 0 dan x2 + y2 - 12x - 20y + 132 = 0.
larutan
Pusat lingkaran x2 + y2 + 2x + 4y + 4 = 0 di (1, -2) dan jari-jari 1 Lingkaran x2 + y2 + 12x + 14y -15 = 0 Pusat di (6,10)
Jarak lingkaran = = (1? 6) 2? (?? 210) 2
= (? 5) 2? (? 12) 2 = 13
(d) 2? ? (ص ) 2
1 2
= (13)2? ? (12) 2 = 169? 9
j. Selesaikan aktivitas 1
sebuah. x2 + y2
القطر
b. (س - ) 2 + ( - ) 2
مع نفس قطر ص
j. Rumus umum untuk persamaan tersebut adalah x2
1 1
berpusat di),
(? A? Ray r
2 2
d. اعة اس الدرائة x2
= ? P2
1? m
dan. اة الماس للمعدين (س - ) 2 + (ص - ) 2 = r2 ل - = (س - )? P2
1? m
f.
Tn. لى
Lingkaran (x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 adalah (x1 - a) (x - a) + (y1 - b) (y - b) = r2
h. اعة المماس لنقطة الظل (x1 , y1) لى العصر x2 + y2 + Ax + By + C = 0 , x1x + y1y + A
1 (s + s 1) + b
1 (ذ +
2 2
y1) + C = 0
1. ل الظل الثلك الدايرتين ا r1 dan r2 r1> r2 المسافة القربين = d اوي
(d) 2? ? (ص ) 2
1 2
y. ل الظل النظرين المعلومات ايرتين الراين r1 r2 المسافة الجديدين d
d. penting
لفهم المعالة ا اسم التحميل التحميلي , ل العربية العربية
1. tentang امة اءة الشروت
) له P (3, -4) O (0,0)
) للنقطتين K (3,1) dan L (-1,3) البيقة لى الخط 3x-y-2 = 0.
2. اوجد الدراءة ا اعدة المعدلة x2 + y2 + 8x + 4y + 4 = 0.
3. اوجد اعة المعدنية K (1,1), L (1, -1) dan M (2,0)
4. اوجد اعدة k اسلة ان الخط y = kx الدايرة x2 + y2 -10x + 16 = 0
)
b) persimpangan
c) La Tarran
5. اوجد امة الماس المر البالنقطة O (0,0) لى الدرائة x2 + y2 - 6x - 2y + 8 = 0
6. Diketahui ada dua buah roda yang jaraknya 78 cm, diameter roda pertama 50 cm, dan roda kedua 20 cm. السلاسلة لسة لتا العجلتين. Tentang ul السيلسلة المتسلة العجلة.
d. لى المحمدة
Jika Anda memiliki masalah dalam menyelesaikan pertanyaan pelatihan, Anda dapat mengikuti petunjuk di bawah ini. Jika Anda dapat menjawab, maka cocokkan jawaban Anda dengan kunci di bawah ini.
1. ) اعة الدرائة است المركز P (3 , -4) المرور عبر O (0,0) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25. لة OP كنصف قطر b) اجعل المعدلة هي الدرة x2 + y2 + Ax لـ + C = 0,
1 1
Dimana pusat lingkaran P),
(? A? B. ات النقطتين K
2 2
L اعة اءة ات P
استدرفه في السطر 3x - y –2 = 0. اجل لى لى المعدلات الخطية 3 persamaan dan 3 variabel, وهي A و B dan C. ل نزيم المعدلات التصفود و / الدلعة, ل ل , b = -8 , = 10.
Jadi persamaan lautan adalah x2 + y2 - 4x - 8y +10 = 0.
2. Anda dapat mengubah persamaan lingkaran menjadi
5
(s + 2 5) 2 + (ص + 4) 2 = 4 25
3. Misalkan persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + Ax atau + C = 0. Alih-alih koordinat titik P, Q dan R dalam persamaan lingkaran, sehingga Anda mendapatkan sistem persamaan linier yang terdiri dari 3 persamaan dan 3 variabel, solusi A, B dan C juga selanjutnya التصفدون / او الدلعم لتحسل لى A = -2 و B = 0 dan C = 0.
Jadi persamaan lautan adalah x2 + y2 - 2x = 0
4. Asumsikan garis tersebut berpotongan, maka diperoleh persamaan x, yaitu x2 + k2 x2 - 10x + 16 = 0
(1 + k2) x2 –10x + 16 = 0 ، المميز في هذه المعادلة هو D = (6-8k) (6 + 8k).
الخطوط والدوائر:
3 3
أ) يتقاطع ، إذا كانت D> 0 ، تحصل على - 4 <ك <4
3 3
ب) الظل ، إذا كانت D = 0 ، نحصل على k = - 4 ok = 4
3 3
ج) لا تتقاطع ، إذا كانت D <0 نحصل على k <- 4 ok> 4
5. لاحظ أن النقطة O (0،0) تقع خارج الدائرة. كيف ذلك؟ على سبيل المثال ، إذا كان الظل الذي تبحث عنه مماسًا للمحيط عند النقطة S (أ ، ب) ، فإن معادلة الظل هي
الفأس + دي - 3 (س + أ) - (ص + ب) +8 = 0
(أ - 3) س + (ب - 1) ص –3 أ - ب + 8 = 0
هذا الظل يمر من خلال (0،0) ، لذلك –3a –b + 8 = 0
ب = 8 - 3 أ (1)
S (a، b) على دائرة ، لذا a2 + b2 - 6a - 2b + 8 = 0 (2) التعويض (1) في (2) ينتج a2 + (8 - 3a) 2 - 6a - 2 (8 - 3a) ) + 8 = 0
أ 2 + 64 - 48 أ + 9 أ 2 - 6 أ - 16+ 6 أ + 8 = 0
10a2 -48a + 56 = 0
(2 أ - 4) (5 أ - 14) = 0
14 2
a = 2 oppure a = 5 ، di conseguenza b = 2 oppure b = -5
Quindi l'equazione della retta tangente è y = xox + 7 y = 0
6. La Lunghezza della catena che non è attaccata alla ruota è la lunghezza della tangente esterna.
Lunghezza catena = 2
(د) 2؟ ؟ (ص ص)
1 2
=) 78 (2 (30) 2
= 60 سم
ه. بروفا فورماتيفا
1. Trova l'equazione della circonferenza che passa per i punti (3،4)، (5،0) e (0،5).
2. Trova l'equazione della tangente alla circonferenza x2 + y2 = 100 che passa per il punto (6.8)
3. تحديد مركز المعلومات الخاص بالركب x2 + y2 + 8x - 6y = 0 مؤهلات المشاركة في البحث؟
4. تحديد la lunghezza della tangente comune esterna tra il cerchio x2 + y2 = 4 e x2 + y2 - 20x + 36 = 0
F. اختبار Chiave di risposta al formativo
1. Diciamo che l'equazione di una circonferenza che passa per i punti (3،4)، (5،0) e (-5.0)، è x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Punto (3،4) su il cerchio: 9+ 16 + 3A + 4B + C = 0 o 3A + 4B + C = -25
بونتو (5.0) سول سيرشيو: 25 + 0 + 5A + 0 + C = 0 o 5A + C = -25
Il punto (0،5) sul cerchio: 25 + 0 - 5A + 0 + C = 0 o –5A + C = -25. Dalle tre equazioni sopra ، otteniamo A = 0 ، B = 0 e C = -25
Quindi l'equazione della circonferenza è x2 + y2 - 25 = 0
2. Il punto (6.8) sulla circonferenza x2 + y2 = 10 L'equazione della tangente alla circonferenza x2 + y2 = 100 che passa per il punto (6.8) è 6x + 8y = 100 o 3x + 4y = 50
3. L'equazione x2 + y2 +8x – 6y = 0 può essere modificata in
x2 + 8x + y2 – 6y = 0
x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9= 16 + 9
(x + 4)2 + (y - 4)2 = 25 Quindi centro (-4, 3 ) e raggio = 5
Puoi anche usare altri metodi.
4. Lingkaran x2 + y2 = 4 pusatnya (0,0) dan jari -jarinya 2
x2 + y2 - 20x + 36 = 0 pusatnya (10, 0) dan jari -jarinya 8 Jarak kedua pusat = 10
Panjang garis singgung luar = 2
(d)2 ?? (rr) 1 2
= (10)2 ? ؟ (8 2)2
= 8
2. Kegiatan Belajar 2: Ellips
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, diharapkan anda dapat: ? Memahami unsur-unsur ellips
؟ Menentukan persamaan ellips jika pusat dan jari-jarinya diketahaui. ؟ Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan ellips.
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Ellips. Buatlah model kerucut dari kertas manila, kemudian potong menurut bidang tidak sejajar bidang alas tetapi tidak memotong bidang alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang terpotong? Permukaan kerucut yang terpotong berbentuk ellips.
Dalam matematika ellips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Ellips.
UNSUR-UNSUR ELLIPS
Keterangan:
Titik O disebut koordinat titik pusat ellips Titik A, B, C dan D disebut koordinat titiktitik puncak ellips
Titik F1 dan F2 disebut koordinat titik-titik fokus ellips
AB dan CD berturut-turut disebut
sumbu mayor (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumbu pendek)
AB = TF1 +TF2
MAT. 10. Irisan Kerucut 25
PERSAMAAN ELLIPS DENGAN PUSAT DI O(0,0)
Misalkan F1F2 = 2c , merupakan jarak antara dua titik fokus. Maka F1(c,0) dan F2(-c,0). Misalkan jumlah jarak yang tetap itu adalah 2a.
Ambil sebarang titik pada ellips misal T(x1 ,y1) dan titik O sebagai pusat ellips.
Berdasarkan definisi ellips, yaitu:
TF1 + TF2 = 2a
؟ 2
2 2
( x 1 ? c)? y + 2
( x1 ? c)? y = 2a
1 1
؟ 2
2 2
(x1 ? c)? y= 2a -2
(x1 ? c)? y, jika kedua ruas dikuadratkan didapat
1 1
(x1-c)2 + y12 = 4a2 + (x1+ c)2 + y12 –4a
2 2
( x1 ? ? c)y 1
؟ (x12 –2x1c + c2) + y12 = 4a2 + (x12 + 2x1c + c) + c2 – 4a2
2
(x1 ? ? c)y 1
2
؟ -4x1c - 4a2 = –4a2
(x1 ? c)? y, jika kedua ruas dibagi -4 didapat
1
؟ (x1c + a2)2 = a2 {(x1+ c)2 + y12}, jika kedua ruas dikuadratkan didapat ? x12c2 + a4 + 2x1ca2 = a2 (x12 + 2x1c + c2) + a2y12
؟ a2 (a2 – c2) = (a2 – c2)x12 + a2y12
Karena a > c maka a2 – c2 > 0 sehingga kita dapat memisalkan a2 – c2 = b2 sehingga persamaan di atas menjadi
؟ b2 x12 + a2y12 = a2 b2
2 2
xy
؟ 1 ? 1 ?
2 2
ab
Karena T(x1,y1) adalah titik yang diambil, maka setiap titik itu memenuhi:
2 2
y
x dan
؟ 2 1
؟ c disebut eksentrisitas numerik dan ditulis e. Karena
2
aba
a>c maka 0 < e < 1.
2 2
xy
Persamaan ellips dengan pusat di O(0,0) adalah 2 1
؟ ؟
2
ab
Contoh 1
Tentukan persamaan ellips yang berpusat di O(0,0) dengan sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut:
a. 8 dan 6 b. 4 dan 2
Penyelesaian
a. Sumbu panjang = 8, berarti a = 4. Sumbu pendek = 6, berarti b = 3
2 2
xy ? ؟
b. Sumbu panjang = 4, berarti a = 2. Sumbu pendek = 2, berarti b = 1
2 2
xy ? ؟
4 1
Contoh 2
Tentukan persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x, simetri
3
terhadap titik O, sumbu panjangnya 20 dan eksentrisitas numerik e = 5 .
Penyelesaian
Sumbu panjang 2a = 20, berarti a = 10
3 c 3
e = 5 , berarti = 5 . Karena a = 10, dengan demikian c =6
a a2 – c2 = b2
b2 = 100 – 36 atau b2 = 64
b = 8, mengapa –8 tidak digunakan?
2 2
Jadi persamaan ellips adalah 1
xy ? ؟ 100 64
MAT. 10. Irisan Kerucut 27
PERSAMAAN ELLIPS DENGAN PUSAT TIDAK PADA (0,0)
Contoh 3
Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (3 , -2) dengan sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 6 dan 4.
Penyelesaian
Sumbu panjang = 6, berarti a = 3 Sumbu pendek = 4, berarti b = 2
2 ( )
x?
؟
Jadi persamaan ellipsnya adalah 2
to
2 2
( 3)
xy ? ( 2)
؟
؟ 1
؟ ؟
2 2
32
(3)2 2
xy ? (2)
؟
؟ 1
؟ ؟
9 4
SKETSA ELLIPS
Dapatkah anda membuat gambar ellips? Buatlah dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Gambarlah di bukumu titik F1, F2 dan panjang 2a > F1F2. Tentukan titik A dan B pada perpanjangan garis F1F2 sedemikian hingga F2B = F1A dan AB = 2a
2. F2B= F1A = (2a - F1F2)
3. Titik Ti diperoleh sebagai berikut:
a) Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F1A
b) Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari 2a - ri
c) Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.
d) Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2 dan sebaliknya. Akan didapat titik-titik C dan D yang memenuhi definisi ellips. Hubungkan titik-titik itu dengan kurva mulus akan didapat sketsa ellips
Bermain
Sediakan 2 paku pines, kapur tulis atau spidol papan dan tali secukupnya. Tancapkan 2 paku pines pada papan. Gunting tali dengan panjang lebih dari jarak kedua pines. Ikat ujung tali pada masing-masing pines (tali pada posisi kendor). Ambil kapur tulis atau spidol papan dan letakkan menempel tali pada posisi bagian dalam tali dan pines. Gerakan kapur atau spidol menelusuri tali maka akan tergambar ellips. Silahkan mencoba!
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS
Garis singgung ellips adalah suatu garis yang memotong ellips tepat pada satu titik.
a. Gradien diketahui
Misal persamaan garis singgung: y = mx + k
2 2
xy
Sehingga ada satu titik pada ellips: 2 1
؟ ؟ yang memenuhi
2
ab
persamaan garis singgung di atas. Akibatnya:
2 2
x ()
mxk
؟
؟ 1
2 2
؟ b
to
؟ b2x2 + a2 (mx + k)2 = a2b2 ; jika kedua ruas dikalikan a2b2 didapat
؟ b2 x2 + a2 (m2x2 + k2 + 2mkx) = a2b2
؟ (b 2 + a2 m2)x2 + a2k2 + 2a2mkx - a2b2 = 0 ? (b 2 + a2 m2)x2 + 2a2mkx + a2(k2 - b2) = 0
Garis akan menyinggung ellips, jika titik-titik potong berimpit atau memotong di satu titik. Hal ini terjadi apabila persamaan kuadrat di atas mempunyai dua akar yang sama atau apabila diskriminannya sama dengan nol.
D = 0
Contoh 4
2 2
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 1
x ? y ? , jika garis
16 9
singgung itu membentuk sudut 45o dengan sumbu x positip.
Penyelesaian
Garis singgung itu membentuk sudut 45o dengan sumbu x positip berarti gradien m = tg 45o = 1.
Persamaan garis singgungnya y = mx ? b? 2 a2m2
y = 1. x ?
y = x ? 5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = x + 5 atau y = x – 5
Contoh 5
Carilah persamaan garis singgung pada ellips x2 + 4y2 = 20 yang tegak lurus ke garis 2x – 2y –13 = 0.
Penyelesaian
2x – 2y –13 = 0
y = (2x –13)/2
13
y = x - 2
Jadi gradien garis 2x – 2y –13 = 0 adalah m1 = 1. Karena garis singgung tegak lurus garis 2x – 2y –13 = 0, maka gradien garis singgung:
1
m2 = - = -1.
m1
2 2
Persamaan ellips x2 + 4y2 = 20 dapat diubah menjadi 1
xy ? ؟ 20 5
dengan membagi kedua ruas dengan 20.
Persamaan garis singgungnya adalah y = mx ? b? 2 a2m2
y = -1. x ? 5? 20 y = - x ? 5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y + x - 5= 0 atau y + x + 5= 0
GARIS SINGGUNG UNTUK LINGKARAN YANG TIDAK BERPUSAT DI (0,0)
Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgung lingkaran yang tidak berpusat di (0,0) misal di (? ,?) yaitu
y- ? = m(x-? ) ? b? 2 a2m 2
Contoh 6
(3)2 2
x, ? y
(2)
؟
Tentukan persmaan garis singgung pada ellips 1
?? 169
jika garis singgung itu membentuk sudut 135o dengan sumbu x positip. Penyelesaian
Garis singgung itu membentuk sudut 135o dengan sumbu x positip berarti gradien m = tg 135o = -1.
Persamaan garis singgungnya y- ? = m(x -? ) ? b? 2 a2m2
y + 2 = -1(x –3) ? 32 ? ؟ 42(1)2 y + 2 = -x + 3 ?5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y + x = 6 atau y + x + 4 = 0
b. Titik singgungnya diketahui Misal titik singgungnya di T (x1,y1) dan P (x2,y2) suatu titik pada ellips, sedangkan persamaan ellips:
1 maka berlaku:
1 ……… (1) dan
x 2 y
؟ 2 ? 1
………………………….(2)
2 2
ab
MAT. 10. Irisan Kerucut 32
Dari persamaan (1) dan (2) didapat:
b2 x12 + a2y12 = b2 x22 + a2y22 b2 (x12 - x22) = -a2 (y12 - y22 )
b2 (x1 + x2) (x1 - x2) = -a2 (y1 + y2 ) (y1 - y2)
2 ??
bxx
( )yy ?
1 2 1 2
؟ ……………………………… (3)
2
ayy
( )
؟ xx
؟
1 2 1 2
Karena persamaan garis yang melalui titik Tdan P adalah:
yy
1 2
؟ ( x – x1), substitusi (3 ) pada persamaan ini dida pat
y- y1 =
xx
؟
1 2
2
bxx ( )
1 2
?? ( x – x1) ;
y- y1 = 2 ayy
( )
؟
1 2
Jika P mendekati T sedemikian P sangat dekat dengan T, maka hampir x2 = x1 dan y2 = y1, dimana TP = 0.
2
1
؟ bx ( x – x1)
(2 )
y- y1 = 2 ay
(2 )
1
a2y1y – a2 y12 + b2 x1x – b2x12 = 0 ; kedua ruas dikalikan a2 a2y1y + b2 x1x – (a2 y12 + b2x12 ) = 0
a2y1y + b2 x1x – a2 b2 = 0
a2y1y + b2 x1x = a2 b2
Jadi persamaan garis singgung di titik singgung (x1,y1) adalah:
xx yy
1
1 ? b ?
2 1
2
to
Contoh 7
2 2
Carilah persamaan garis singgung pada ellips 1
xy di titik yang
؟ ؟
30 24
absisnya 5. Penyelesaian
Titik-titik pada ellips yang absisnya 5, ordinatnya diperoleh dari
25 2 y ?
30 24
y2 = 4
y = ? 2
Jadi titik singgungnya P(5,2) dan Q(5, -2)
5 xy ? ؟
2
Persamaan garis singgung di P adalah 1 30 24
5 xy ? ؟
2
Persamaan garis singgung di Q adalah 1 30 24
Garis singgung ellips yang tidak berpusat di (? ,) ?
Dengan cara yang sama seperti di atas, untuk ellips
2 2 ()()
؟ y
x? ؟ , maka persamaan garis singgung di titik
؟
?? 1
2 2
ab
singgung (x1,y1) adalah:
()() ()()
x? ؟ x? ؟
؟ ؟ yy
؟ ؟
1 ?
1
؟ 1
2 2
ab
Contoh 8
(2)2 2
x? y di
(3)
؟
Carilah persamaan garis singgung pada ellips 1 ??
20 5
titik yang ordinatnya –2.
Penyelesaian
Titik-titik pada ellips yang ordinatnya –2, diperoleh absis
(2)2 2
x? (23)
??
؟ ؟ 1
20 5
(2 2)
x? , kedua ruas dikalikan 20 didapat
1
؟ ؟ 1
20 5
(x – 2)2 + 4 = 20
x2 – 4x + 4 + 4 = 20 x2 – 4x –12 = 0
(x –6)(x + 2) = 0 x = 6 atau x = -2
Jadi titik singgungnya A(6, -2) dan B (-2,-2)
؟ xy ?
)(26(? 2) (23)(3)
?? ؟
Persamaan garis singgung di A = 1
؟
205
(4? 2)
x? y, jika kedua ruas dikalikan 20 didapat
(3)
؟
؟ 1
20 5
4(x – 2) + 4(y + 3) = 20 4x + 4y = 16 x + y = 4
؟ xy ?
)(26 (? 2) (23)(3)
؟ ؟ ؟
Persamaan garis singgung di A= 1
؟
205
(4? 2)
x? y, jika kedua ruas dikalikan 20 didapat
(3)
؟
؟ 1
20 5
4(x – 2) + 4(y + 3) = 20
4x + 4y = 16
x + y = 4
Persamaan garis singgung di B adalah
?? xy ? )(22(2) (23)(3)
?? ؟
؟ ؟
20 5
?x?y
(4 2) ( 3)
؟
؟ ؟
20 5
1 , jika kedua ruas dikalikan 20 didapat
-4(x – 2) + 4(y + 3) = 20 -4x + 4y = 0 x + y = 0
C. Rankuman Kegiatan 2
2 2
xy ? Persamaan ellips dengan pusat di O(0,0) adalah 2
؟ ؟ 2
ab
؟ Parsamaan ellips melalui titik T(x1 ,y1) dan pusatnya di titik P( ?,) ?
adalah
2 2
() ()
x? ؟
؟ y?
؟ ؟ 1
2 2
ab
2 2
xy
c. Persamaan garis singgungnya m pada ellips adalah 2 1
؟ ؟ adalah
2
ab
y = mx ? b? 2 a2m2
د. persamaan garis singgung lingkaran yang tidak berpusat di (0,0) misal di (? , ? ) yaitu y- ? = m(x -? ) ? b? 2 a2m2
e. persamaan garis singgung di titik singgung xxyy
1
(x1,y1) pada ellips adalah 2 1
1 ? b ?
2
to
f. Persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada ellips
2 2
() ()
؟ y
x? ؟ , adalah ?
؟ ؟ 1
2 2
ab
()() ()()
x? ؟ x? ؟
؟ ؟ yy
؟ ؟
1 ?
1
؟ 1
2 2
ab
د. Tugas
Agar anda memahami materi ellips ini, kerjakan soal-soal berikut secara mandiri.
1. Tentukan persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x dan simetris terhadap O yang memenuhi syarat jarak kedua titik apinya adalah 4 dan jarak kedua garis arah arahnya adalah 5.
2. Tentukan koordinat titik-titik api dari ellips
2 2
xy ? ?1
. 100 36
2
3. Tentukan persamaan ellips yang eksentrisitas numeriknya e = 3 salah satu titik apinya F(6,0).
2 2
x
4. Tentukan nilai m sehin gga garis y = - x +m men yin ggun g elli ps 1. ? y ?
20 5
د. Kunci Jawaban Tugas
Apabila anda menemui kesulitan untuk menyelesaikan soal-soal di atas, petunjuk dapat mengikuti petunjuk penyelesaian.
1. Jarak kedua titik api adalah 2c = 4, berarti c=2. karena jarak kedua garis
a2
arahnya adalah 2 =5 maka a2 = c
5 dan karena c=2 maka a2
c 2
5 ? ؟
= 2 5
2
Pada ellips berlaku b2 = a2 – c2 , maka b2 = 5 – 4=1
Karena titik-titik api ellips terletak pada sumbu x dan simetris terhadap O
2 2
y
maka persamaan ellips berbentuk 2 1
x jadi persamaan ellips yang
؟ ؟
2
ab
2 2
ditanyakan adalah 1
xy ? ؟
5 1
2 2
2. Persamaan ellips 1
x ? y? berarti a = 10 dan b=6
100 36
Pada ellips berlaku b2 = a2 – c2, dengan demikian c = 8, ini berarti koordinat titik api F1(8,0) dan F2(-8,0)
2 c
3. Eksentrisitas numeriknya e = 3 = . Karena c = 6, maka a = 9
a a2 – c2 = b2
b2 = 81 – 36 atau b2 = 45
b = 45 , mengapa – 45 tidak digunakan?
2 2
Jadi persamaan ellips adalah 1
xy ? ؟
81 45
4. Gradien garis y = -x + p adalah -1 Persamaan garis singgung dengan gradien –1 adalah y = -x ? 5. Jadi p = 5
e.
Penerjemah:
dr. Mega Tegoh B, M.
penerbit:
dr. Manuharawati, MSi.
tongkat Koserini, M.Pd.
Departemen Proyek Pengembangan Kurikulum
Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan
Direktur Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah
Menteri Pendidikan
2004
sebuah pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan materi ajar satuan manual SMK Adaptif yaitu mata pelajaran Fisika, Kimia dan Matematika. Unit ini disusun dengan menggunakan pendekatan pembelajaran berbasis kompetensi, sebagai hasil logis dari kurikulum sekolah menengah edisi 2004 menggunakan pendekatan pelatihan berbasis kompetensi (CBT).
Sumber utama dan materi pembelajaran kurikulum SMK edisi 2004 bersifat modular, manual dan interaktif, mengacu pada National Skills Standards (NSS) atau standar dunia kerja dan industri. Dengan modul ini diharapkan dapat digunakan sebagai sumber belajar utama oleh peserta diklat untuk mencapai standar keterampilan kerja yang diharapkan oleh dunia kerja dan industri.
Unit ini disusun dalam beberapa tahapan proses, mulai dari penyiapan materi unit, hingga penyusunan teks tertulis dan kemudian pembentukannya dengan bantuan perangkat IT, serta validasi dan pengujian empiris dalam skala terbatas. . Dasar. Verifikasi dilakukan dengan teknik expert judgement, sedangkan uji empiris dilakukan pada peserta yang berbeda diklat. Modul yang telah diselesaikan diharapkan dapat menjadi bahan pembelajaran dan sumber daya yang berharga untuk membekali peserta pelatihan dengan keterampilan kerja yang diharapkan. Namun karena dinamika perubahan ilmu pengetahuan dan teknologi dalam industri yang sangat cepat, maka perbaikan atau revisi akan selalu diharapkan dari unit ini agar selalu sesuai dengan kondisi lapangan.
Kerja keras ini dapat terselesaikan, dengan banyak dukungan dan bantuan dari berbagai pihak patut diapresiasi dan mengucapkan terima kasih. Jadi, tidak dalam kasus ini
Tidaklah berlebihan rasanya untuk menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim pengisi formulir (penulis, editor, staf komputer, pakar desain grafis) atas dedikasi dan pengorbanan waktu, tenaga dan gagasannya. Untuk menyelesaikan persiapan unit ini.
Saran dan kritik dari para psikolog, pakar bisnis dan industri, serta pakar akademik sangat kami harapkan sebagai bahan untuk meningkatkan kualitas unit. Pengguna diharapkan menghormati prinsip-prinsip implementasi, adaptabilitas dan fleksibilitas, mengacu pada perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi di dunia usaha dan dunia industri, potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri untuk menyediakan modular do. keterampilan bagi peserta pelatihan.
Oleh karena itu, saya berharap modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, terutama bagi mereka yang terlibat dalam adaptasi profesional pelatihan kejuruan matematika, fisika dan kimia atau bagi para profesional yang mengembangkan modul pendidikan untuk sekolah menengah kejuruan.
Jakarta, Desember 2004
Direktur Jenderal Pendidikan
sekolah dasar dan menengah
Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan,
dr. Eh. Gatot Harry Brewerganto, Master Kneipp 130675814
ringkasan
? halaman pertama saya
? Halaman Fransiskus II
? Pendahuluan III
? ringkasan
? Unit peta situs ketujuh
? Daftar judul satuan VIII
? Glosarium IX
I. penampilan
Deskripsi 1
B- Kondisi 1
C- Instruksi untuk menggunakan Formulir 1
D. TUJUAN SANGAT BAIK 2
E- Yurisdiksi 3
Dan. Periksa keterampilan 5
II. Pelajaran keenam
sebuah. Rencana studi untuk peserta pelatihan
B. Kegiatan Belajar 7
1. Kegiatan Belajar 1 7
sebuah. Tujuan kegiatan pembelajaran 7
B. Deskripsi Bagian 7
c. Ringkasan 20
Dr.. Misi 21
Dan. Kunci jawaban kegiatan 21
P.23 Tes formatif
g. 24 tombol umpan balik formatif
2. Kegiatan Belajar 2 25
sebuah. Tujuan kegiatan pembelajaran 25
B. Deskripsi fisik 25
c. 36. Ringkasan
Dr.. 37 misi
Dan. Kunci jawaban kegiatan 37
H. 39. Tes formatif
g. 39- Kunci jawaban formatif
3. Kegiatan Belajar 3 41
sebuah. 41 Tujuan kegiatan pembelajaran
B. Deskripsi Fisik 41
c. 51. Ringkasan
Dr.. Misi 51
Dan. 52- Kunci Jawaban Kustom
P.53. Tes formatif
g. 54- Kunci jawaban formatif
4. Kegiatan
Belajar 4 55
sebuah. Tujuan kegiatan pembelajaran 55
B. Deskripsi fisik 55
c. Ringkasan 61
Dr.. Misi 62
Dan. 62- Kunci untuk menjawab tugas
F. Tes Formatif 64
g. 64. kunci jawaban formatif
Ketiga. penilaian ................................................ . .. ................................ 66
Kunci evaluasi
................................................... .. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………… 67
Keempat. Interupsi ................................................. . ................................................. . ............... .. ...69
Daftar Pustaka ................................................................... .. .. .. ........................................ 70
unit peta posisi
Daftar judul unit
Kode Model Nomor Alamat Model
1 MAT.01 Matriks K
2 MAT.02 Logika matematika
3 MAT.03 Persamaan dan pertidaksamaan
4 MAT.04 2D geometri
5 MAT.05 Hubungan dan fungsi
6 MAT.06 Geometri 3D
7 MAT.07 PELUANG
8 MAT.08 bilangan real
9 MAT.09 Trigonometri
10 meninggal. 10 cakram kerucut
11 statistik MAT.11
12 meninggal. 12 baris
13 meninggal. 13 kesalahan pembulatan
14 Program Linier MAT.14
15 vektor MAT.15
16 meninggal. 16 Matematika Keuangan
Daftar Istilah
Deskripsi kondisi
Lingkari himpunan titik-titik di pesawat (di pesawat)
Jarak tetap dari suatu titik tertentu. poin berikutnya
Ini disebut pusat lingkaran.
Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan setiap titik
Lingkaran dan pusat lingkaran.
Elips himpunan titik (pada bidang) dan jumlah mereka
Jarak dari dua titik tetap tetap sama.
Parabola: himpunan titik-titik pada bidang
Jarak tetap dari titik tertentu dan garis lurus
tentu saja. Poin ini disebut fokus peribahasa, sedangkan
Garis itu disebut garis tren atau? bos. khotbah
Dapat ditarik jika Anda mengetahui arah dan sumbu
Aku berbaring di telepon.
Hiperbola Himpunan titik (dalam bidang) yang menyimpang
Jarak dari dua titik tetap tetap sama.
Inilah sebabnya mengapa titik dua disebut titik fokus hiperbola.
Bab Satu Pendahuluan
sebuah deskripsi
Di unit ini Anda mempelajari 4 kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 berbentuk lingkaran, kegiatan belajar 2 berbentuk elips, kegiatan belajar 3 berbentuk parabola, dan kegiatan belajar 4 merupakan hiperbola. Pada kegiatan pembelajaran 1, atau lingkaran, akan dijelaskan unsur-unsur dan deskripsi lingkaran, persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan di (a,b) akan dijelaskan. Juga dibahas adalah persamaan tangen lingkaran, garis singgung persekutuan luar dan dalam. Pada kegiatan pembelajaran 2 akan dijelaskan elips pada elips, unsur-unsur dan deskripsinya, persamaan elips, persamaan garis singgung dan penerapannya. Pada kegiatan pembelajaran 3 akan dibahas parabola, unsur-unsur dan deskripsinya, persamaan parabola dan persamaan tangen parabola serta penerapannya. Pada kegiatan pembelajaran 4, Ini adalah hiperbola, akan dibahas unsur-unsur dan deskripsi persamaan hiperbolik.
B.kondisi
Persyaratan dasar untuk mempelajari satuan ini adalah kongruensi, jarak, paralelisme, tegak lurus dan fungsi. Semua materi prasyarat ini tercakup dalam modul Hubungan dan Fungsi dan Geometri Bidang dan Spasial.
C- Petunjuk penggunaan formulir
Untuk mempelajari unit ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut.
1. Pelajarilah rangkuman dan ikhtisar unit dengan cermat, karena rangkuman dan ikhtisar akan memandu Anda dalam mempelajari unit ini dan hubungannya dengan modul lain.
2. Pembelajaran unit ini harus berurutan, karena materi yang mendahuluinya merupakan prasyarat untuk mempelajari materi selanjutnya.
3. Pahami contoh soal yang ada dan kerjakan semua soal latihan yang ada. Jika mengalami kesulitan dalam memecahkan masalah, kembalilah pada kajian materi yang relevan.
4. Ajukan pertanyaan evaluasi yang cermat. Jika Anda mengalami kesulitan mengerjakan soal penilaian, kembalilah mempelajari materi yang relevan.
5. Jika Anda memiliki masalah yang tidak dapat Anda selesaikan, tuliskan, kemudian tanyakan kepada guru selama kegiatan satu lawan satu atau baca referensi lain untuk materi di unit. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan tambahan pengetahuan.
D. Tujuan akhir
Setelah mempelajari unit ini Anda diharapkan dapat:
1. Tentukan persamaan lingkaran dan elemen-elemennya,
2. Gunakan rumus bayangan untuk menyelesaikan masalah,
3. Gunakan panjang tangen persekutuan luar untuk menyelesaikan soal,
4. Temukan persamaan elips dan elemen-elemennya,
5. Gunakan persamaan elips untuk menyelesaikan masalah,
6. Tentukan persamaan parabola dan elemen-elemennya,
7. Menggunakan persamaan ekuivalen untuk menyelesaikan masalah penentuan frekuensi harapan dari suatu kejadian,
8. Temukan persamaan hiperbola dan elemen-elemennya,
9. Menggunakan persamaan pendefinisian untuk memecahkan masalah.
E. Efisiensi
KETERAMPILAN
Spesialisasi kursus: Durasi mempelajari kode kursus
: cakram kerucut: perangkat lunak yang dapat disesuaikan
: MATHS / MAT10: 56 jam @ 45 menit
bahan ajar
Standar kinerja untuk subketerampilan Cakupan untuk mempelajari sikap kognitif
1. Implementasi konsep? Elemen melingkar? Elemen melingkar? Akurat dan presisi? Tentukan item? menggambar slide
Sirkuit dijelaskan menurut
Berbeda? persamaan lingkaran
? Garis bayangan sekutu asing di pemukiman
masalah chip sirkuit
? Tentukan persamaan kerucut.
? menggunakan
? Persamaan lingkaran kerucut lingkaran Persamaan lingkaran,
ditentukan berdasarkan? Tentukan parabola, elips,
Elemen yang dikenal sebagai nuansa umum kelebihan dalam
? Bayangan sekutu asing? Penentuan panjang potong
Ini diambil dari dua nuansa umum dari masalah persimpangan
lingkaran terkenal? Implementasi konsep Ling Kun.
? Panjang garis yang menyentuh lingkaran dalam
Pembubaran sekutu internal dan eksternal
2. Implementasi konsep
Parabola menghitung jari-jari kedua e
Jarak pusat kedua lingkaran
? Konsep lingkaran
BERLAKU
temukan kesalahan dan perbaiki
para profesional.
? elemen paraba
Jelaskan menurut
Berbeda? elemen paraba
? Persamaan parabola dari
grafis? menyadari sepenuhnya
pada akhirnya
Masalah segmen masalah profesional
? elemen paraba
- Direktori
- koordinat titik
? Membandingkan puncak parabola
Itu ditentukan oleh - koordinat titik pusat
Elemen yang Diketahui - Perbandingan sumbu
? Bagaimana konsep peribahasa yang diterapkan? Tabel perbandingan
dalam larutan ekivalen
Masalah karir? penerapan konsep
bola yang dalam
menyelesaikan
Masalah profesional
bahan ajar
Standar kinerja untuk subketerampilan Cakupan untuk mempelajari sikap kognitif
3. Implementasi konsep
Bentuk oval? elemen elips digambar
Deskripsi berbasis atribut
? Persamaan elips ditentukan
berdasarkan elemen
sebuah bantuan
? Konsep elips berlaku
penuh
Masalah profesional. ? elemen oval
? Persamaan elips e
grafis? menyadari sepenuhnya
pada akhirnya
masalah pemotongan
tenggorokan? definisi elips
? persamaan elips
? elemen oval
- koordinat titik
puncak
- koordinat titik pusat
Fokus koordinat
- Spesialisasi dan As
keledai kecil
? Menggambar elips
? penerapan konsep
elips bagian dalam
menyelesaikan
Masalah profesional.
4. Draf aplikasi
hiperbola? Unsur hiperbola
Jelaskan menurut
Karakteristik
? persamaan hiperbolik
ditentukan berdasarkan
Artikel populer
? konsep hiperbola
BERLAKU
temukan kesalahan dan perbaiki
profesional? Unsur hiperbola
? persamaan hiperbola e
Tanda. ? menyadari sepenuhnya
pada akhirnya
masalah pemotongan
tenggorokan? Definisi hiperbola
dan elemennya:
- titik fokus
- sorotan
- titik fokus
- asimtot
- poros utama
- rahmat kecil
? Menggambar parabola
? penerapan konsep
hiperbola yang dalam
menyelesaikan
Masalah profesional.
Dan. tes keterampilan
Ajukan pertanyaan-pertanyaan berikut Jika Anda dapat mengajukan beberapa atau semua pertanyaan berikut, Anda dapat meminta guru atau guru langsung untuk mengerjakan pertanyaan penilaian untuk materi yang Anda pelajari di Bab 3.
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 4.
2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat a (a, b) dan jari-jari 4.
3. Tentukan persamaan elips dengan pusat O (0,0) dengan sumbu panjang 8 dan sumbu pendek 4.
4. Tentukan persamaan elips dengan pusat P (-2,5) dengan sumbu panjang 8 dan sumbu pendek 4.
5. Tentukan koordinat titik panas elips
2 2
xy?? 1
. 100 36
2
6. Temukan persamaan elips yang simpangan numeriknya e = 3 salah
Sebuah titik fokus adalah F (6.0).
7. Temukan titik pivot dan persamaan arah parabola y2 = 24x.
8. Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik M dan titik pusat parabola y2 = 20x, jika limit titik M adalah 7.
9. Tentukan nilai ek sehingga persamaan y = kx + 2 menyentuh parabola y2 = 4x.
10. Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya (0,0) dan panjang sumbu hiperbola berturut-turut adalah 16 dan 12. Tentukan juga jarak antara dua fokus, persamaan sederhana, dan asimtot.
11. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat (0,0) s dan eksentrisitas
13
adalah 12 sedangkan jarak antara dua fokus adalah 10.
B. kegiatan belajar
1. Kegiatan Pembelajaran 1: Lingkari
sebuah. Tujuan kegiatan mengajar
Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran 1 ini, kami berharap Anda dapat menggambarkan bagian kerucut, yaitu lingkaran dengan pusat dan jari-jarinya. ? Memahami elemen rangkaian.
? Tentukan persamaan lingkaran jika pusat dan jari-jarinya diketahui. ? Hitunglah panjang garis persekutuan luar dan dalam dari kedua lingkaran tersebut.
? Dia bisa menggambar bayangan luar dan dalam dari dua lingkaran. ? Itu dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan sabuk.
B. Deskripsi Barang
Kurva lengkung sederhana dan halus yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah lingkaran. Buat kerucut dari kertas Manila lalu potong sejajar dengan bidang alasnya. Apa bentuk permukaan pemotongan kerucut? Permukaan pemotongan kerucut berbentuk lingkaran.
Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai sekumpulan titik (pada bidang) yang berjarak tetap dari suatu titik tertentu. Maka titik tersebut disebut pusat lingkaran. Ruas garis yang menghubungkan setiap titik pada lingkaran dan pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Jadi lingkaran dapat dibuat jika pusat dan jari-jari lingkaran diketahui.
Tentukan persamaan lingkaran
Ambil sembarang titik pada lingkaran, katakan T(x1, y1), dan tetapkan O sebagai pusat lingkaran.
Gambarlah garis sepanjang T tegak lurus terhadap sumbu x, misalnya di T1.
melihat? atau T1T
? O T1T adalah segitiga siku-siku yang membentuk sudut siku-siku di titik T1.
Oleh karena itu, teorema Pythagoras mengatakan:
atau T12 + T1T2 = OT2
x 1 2 + y 12 = t 2
Karena berlaku untuk semua titik pada lingkaran, maka x2 + y2 = r2
x2 + y2 = r2
adalah persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r
Contoh 1
sebuah. Persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 9
B. Persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 25
c. Persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 1 adalah x2 + y2 = 1
Contoh 2
sebuah. x2 + y2 = 16 lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 4
B. x2 + y2 = 4 lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 2
tikar. 10. Memotong kerucut 8
Persamaan lingkaran pusat bukan (0.0)
Ambil sembarang titik pada lingkaran, misalkan T (x1, y1) dan titik P (a, b) sebagai pusat lingkaran.
, y1) Tarik garis melalui T tegak lurus terhadap sumbu x, misalnya di T1.
Tarik garis melalui titik P sejajar sumbu x dan berpotongan dengan TT1
T1 titik x.
melihat? PCT. ? PQT adalah segitiga siku-siku di titik Q, TQ = (y1 - b) dan PQ = (x1 - a).
Jadi Teorema Pythagoras membuktikan: PQ2 + QT2 = OT2
(x1 - a) 2 + (y1 - b) 2 = r2
Karena ini benar untuk setiap titik T (x1, y1) pada keliling, kita terapkan (x - a) 2 + (y - b) 2 = r2
(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2
adalah persamaan lingkaran pusat (a,b) jari-jari r
Contoh 3
Tentukan persamaan lingkaran dengan
sebuah. Pusat (2, 3) dan radius 5
B. Pusat (-3.1) dan Radius 2
c. Pusat solusi (2, -2) dan radius 1
sebuah. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 5 adalah
(x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 25
B. Persamaan lingkaran dengan pusat (-3, 1) dan jari-jari 2 adalah
(x + 3) 2 + (y - 1) 2 = 4.
c. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, -2) dan jari-jari 1 adalah (x - 2) 2 + (y + 2) 2 = 1
Contoh 4
Cari koordinat pusat dan jari-jari lingkaran menggunakan persamaan 4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0
larutan
4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas habis dibagi 4
x2 + y2 -x + 4y - 4 19 = 0
x2 -x + y2 + 4y - 4 19 = 0 kamu mendapatkan kuadrat sempurna
x2 -x + 4 1 + y2 + 4y +4 = 4 19 + 4 1 + 4
(x - 2 1) 2 + (y + 2) 2 = 9
1
Jadi koordinat pusat lingkaran adalah (2, -2) dan jari-jarinya adalah 3
Contoh 5
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P (1, 3) dan untuk titik Q (-2.5)
larutan
Jari-jari lingkaran adalah panjangnya
2
r = PQ = (xP? xQ) 2 (y P? y Q)
2
r = PQ = (1??2) 2 (3?5)
y = QQ = 13
Jadi persamaan lingkarannya adalah (x - 1) 2 + (y - 3) 2 = 13
Bentuk umum persamaan lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran diperoleh dengan menurunkan persamaan lingkaran yang pusatnya bukan (0,0) sebagai berikut:
(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2
x –2ax + a2 + y2 –2by + b2 = r2
x2 + x2 –2ax –2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 –2ax –2by + a2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0, dimana A = -2a, B = -2b dan C = a2 + b2 - r2
1 1
atau a = -2a, b = - 2b dan y =? A2)?? B2? c
() (
2 2
Contoh 6
Cari koordinat pusat dan jari-jari lingkaran menggunakan persamaan 4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0
larutan
4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas habis dibagi 4
x2 + y2 -x + 4y - 419 = 0
19 1 1
a = -1, b = 4, c = - 4, jadi pusat lingkaran) 1, -2) dan,
(? A ? B = (2
2 2
1 1 1 19
? A2 B2? c =? ? 2) 2+
jari-jari y = () (
2)??
2 (2) 2 (4
y = 9 = 3
1
Jadi koordinat pusat lingkaran adalah (2, -2) dan jari-jarinya adalah 3
Bandingkan jawaban ini dengan contoh 4. Mana yang lebih mudah?
Contoh 7
Tentukan persamaan keliling yang melalui tiga titik P (1,0), Q (0,1) dan R (2.2).
larutan
Misalnya, persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Titik P(1,0) pada lingkaran berarti 12 + 02 + A.1 + B.0 + C = 0
A + C = -1 atau A = -1 - C (1) Titik Q (0,1) pada lingkaran berarti 02 + 12 + A.0 + B.1 + C = 0
B + C = -1 atau B = -1 - C (2) berarti titik R(2,2) pada lingkaran 22 + 22 + A.2 + B.2 + C = 0
2A + 2B + C = -8 ............... (3) Substitusi (1) dan (2) ke (3) menghasilkan 2 (-1 - C ) + 2 (-1-C) + C = - 8
-2 - 2 C –2 –2 C + C = 0
-3c = -4
4
c = 3
7
Dari (1) kita mendapatkan A = - 3
7
Dari (2) kita dapatkan B = - 3
Jadi persamaan kelilingnya adalah x2 + y2 - 3 7 x - 3 7 y + 3 4 = 0
Perbandingan garis kondisi
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik.
sebuah. Kemiringan garis singgung diketahui dan kelilingnya berpusat di (0,0), kita katakan bahwa persamaan garis singgungnya adalah: y = mx + k sehingga ada titik pada keliling: x2 + y2 = r2 yang memenuhi persamaan tangen di atas. Dengan ekstensi:
x2 + (mx + k) 2 = r2
x2 + m2x2 + 2mkx + k2 = r2
(1 + m2) x2 + 2mkx + k2 - r2 = 0; Ini adalah persamaan kuadrat dalam variabel x. Jadi persamaan kuadrat memiliki
Nilai ex, maka kondisi karakteristik persamaan harus sama dengan nol, yaitu: D = 0.
(2 mk) 2 - 4. (1 + m 2). (k2 - r2) = 0
4 M2 - 4 (K2 + M2 - M2 - M2) = 0-4 (K2 - R2 - M2) = 0
k2 - r2 (1 + m2) = 0
k = ? r2 1? m
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = mx? s
Contoh 8
Tentukan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 16 dengan gradien 3 solusi
Persamaan tangen x2 + y2 = r2 dengan gradien
m adalah y = ms? s
y = 3x? 4 2 1? 3
y = 3x? 4 10
B. Gradien berlian diketahui dan lingkaran berpusat di (a, b) Anda dapat memperoleh rumus yang mirip dengan di atas. Anda dapat menemukan persamaan garis singgung
Sebuah lingkaran berpusat di (a,b) yaitu yb = m (xa)? halaman 2
1? m
Persamaan tangen (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2
Dimana gradien m adalah y - b = m (x - a)? halaman 2
1? m
Contoh 9
Tentukan garis singgung lingkaran (x + 3) 2 + (y - 1) 2 = 4 dengan gradien -2
larutan
Persamaan tangen x2 + y2 = r2 dengan gradien
Apakah - b = m (x - a)? halaman 2
1? m
y -1 = 3 (x + 3)? 2 2
1? ? (2)
y = 3x + 10? 4
c. Persamaan garis singgung jika titik singgung lingkaran yang berpusat di (0,0) diketahui.
Misalnya, garis singgung di T(x1, y1) adalah persamaan garis: y –y1 = m (x -
x 1)
xy
2 1
dimana m = Tg? =
SS
2 1
Jadi persamaan garis yang melalui PQ adalah
xy
2 1
p - p 1 =
SS
2 1
q dalam lingkaran sehingga:
2 + y12 = r2 x1
x dalam lingkaran sehingga:
2 + y22 = r2 x2
x12 + y12 = x22 + y22 atau x12 - x22 = (x1 - x2) (x1 + x2) = (y2 - y1) (y2 + y1) yy
? xy
?
21 2 1
?
xx
? xx
?
1 2 1 2
xy
? xy
?
2 1 2 1
? ?
xx
? xx
?
2 1 2 1
xx
?
2 1
Jadi y- y1 = ? (x - x1)
xy
?
2 1
Jika QP didekati dengan cara yang mendekati x2 = x1 dan y2 = y1, di mana PQ = 0.
X
y - y1 = ? (x - x1)
1
ya 1
y1y - y12 = - x1x + x12 x1x + y1y = x12 + y12 x1x + y1y = r2
Contoh 10
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (3,-4)
larutan
Persamaan garis singgung di titik singgung (3, -4)
Pada lingkaran x2 + y2 = 25 3x - 4y = 25
Dr.. Titik kontak pada keliling yang berpusat di (a,b) dikenal sebagai
Persamaan lingkaran pusat di (a, b) adalah (x - a) 2 + (r - b) 2 = r2, ini dapat diubah menjadi (x - a) (x - a) + (r - b) (r - b) = r2.
Mirip dengan apa yang kita pelajari di atas, persamaan garis singgung adalah (x1 - a) (x - a) + (y1 - b) (y - b) = r2.
atau
x1x + y1y - a (x + x1) - b (y + y1) + a2 + b2 = r2 x1x + y1y - a (x + x1) - b (y + y1) + a2 + b2 - r2 = 0
x1x + y1y - (-A
1) (x + x 1) - (-b
1) (y + y1) + a2 + b2 - r2 = 0
2 2
1 1
Mengapa a = - 2a, b = - 2b dan y =? A2)?? B2? c (lalu) (
2 2
1 (x + x 1) + b
1 (y + y 1) + c = 0
x1x + y1y + A
2 2
Persamaan garis singgung pada titik singgung (x1, y1) terhadap keliling x2 + y2 + Ax + By + C = 0, adalah
1 (x + x 1) + b
1 (y + y 1) + c = 0
x1x + y1y + A
2 2
Contoh 11
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 6x - 4 y -4 = 0 di titik (1,1)
larutan
Dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x - 4 y -4 = 0 kita peroleh A = 6, B = -4 dan C = -3. Jadi, persamaan garis singgung di titik (1,1) adalah:
1 (x + x 1) + b
1 (y + y 1) + c = 0 x 1 x + y 1 y + a
2 2
x + y +3 (x + 1) + -2 (y + 1) - 4 = 0 x + y + 3 x + 3 – 2 y - 2 - 4 = 0 4 x - y - 3 = 0
Contoh 12
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 6) 2 + (y + 2) 2 = 16 di titik (2,2).
larutan
Persamaan garis singgung di titik (1,1) adalah:
(x1 - a) (x - a) + (y1 - b) (y - b) = r2.
(2-6)(x - 6) + (2 + 2)(y + 2)) = 16
-4 (x - 6) + 4 (y + 2)) = 16 atau -4 x + 24 + 4 y + 8 = 16
-4 x + 4 y = -16, jika kedua ruas dikalikan - 4 1 diperoleh:
x - y = 4 adalah persamaan tangen yang diperlukan.
Perbandingan minat dan jalur terkait di luar negeri
Lihat gambar di samping. Diketahui dua lingkaran yaitu L1 dan L2 berjari-jari berurutan r1 dan r2, dengan r1 > r2, sedangkan jarak pusat kedua lingkaran adalah d. T1T2 disebut segmen tangen eksternal bersama.
Berapakah panjang ruas garis singgung persekutuan luar yang menghubungkan kedua lingkaran tersebut?
larutan:
لما? T1T2Q tegak lurus T1 T2 Q = P1P2 = de T1Q = r1 - r2
اغورس ل لى T1T2 =
T1T2 =
ل الظل المحبيل الذهب ايرتين ا r1 r2 r1> r2 , المسافة القربين = d
dia adalah 2
(d) 2? ? (ص )
1 2
Contoh 13
اوجد ل الماس الثلاق الدواير الدواير المعادلة x2 + y2 + 4x + 6y -4 = 0 dan x2 + y2 + 10x + 14y –10 = 0.
larutan
Letakkan lingkaran di x2 + y2 + 2x -10y + 1 = 0 dan pusatnya di (1, -5) dan setengah lingkaran adalah 5 tentang x2 + y2 + 12x + 14y -15 = 0 dan pusatnya di (6,7 ) dan setengah lingkaran adalah 10
Jarak lingkaran = = (1? 6) 2? (?? 57) 2
= (? 5) 2? ? (12) 2
d = 13
2
(d) 2 ?? (ص ) 1 2
= (13)2? (10?5)2 = 169? 25 = 144 = 12
Lihat gambar di samping. المعرف دايرتين , L1 dan L2 , لهما الي r1 dan r2 المسافه الدواير d. disebut T1T2 الذل المنتدية المعلومات.
а о ат акім аммас е ат е айртин?
larutan:
ارسم ا ا البيقة P2 الموازية لـ T1T2 P2R
ا لًا البيقة P1 الموازية لـ T1T2 , اي P1Q العربية الرباعي P1QP2R ;
T1T2? P2Q dan T1T2? P1R lalu P2Q // P1R …… .. (1) T1T2 // P2R dan T1T2 // P2Q lalu P2R // P2Q ………… (2)
luar biasa? P1QP2 = kabir? P1QP2 = 900 (зд) ............... (3)
(1) dan (2) dan (3) topik ان تلاس الربعع P1QP2R ازة.
manifestasi? P1Q P2 اوية لماء لى Q. لة فيثاغورس
(P1P2) 2 = (P1Q) 2 + (QP2) 2 (P1P2) 2 = (T1T2) 2 + (r1 + r2) 2 (d) 2 = (T1T2) 2 + (r1 + r2) 2
(d) 2? ? (ص ) 2
1 2
Contoh 14
ل الماس الإلى المعلومة الدواير المعدلة المعدلة x2 + y2 + 2x + 4y + 4 = 0 dan x2 + y2 - 12x - 20y + 132 = 0.
larutan
Pusat lingkaran x2 + y2 + 2x + 4y + 4 = 0 di (1, -2) dan jari-jari 1 Lingkaran x2 + y2 + 12x + 14y -15 = 0 Pusat di (6,10)
Jarak lingkaran = = (1? 6) 2? (?? 210) 2
= (? 5) 2? (? 12) 2 = 13
(d) 2? ? (ص ) 2
1 2
= (13)2? ? (12) 2 = 169? 9
j. Selesaikan aktivitas 1
sebuah. x2 + y2
القطر
b. (س - ) 2 + ( - ) 2
مع نفس قطر ص
j. Rumus umum untuk persamaan tersebut adalah x2
1 1
berpusat di),
(? A? Ray r
2 2
d. اعة اس الدرائة x2
= ? P2
1? m
dan. اة الماس للمعدين (س - ) 2 + (ص - ) 2 = r2 ل - = (س - )? P2
1? m
f.
Tn. لى
Lingkaran (x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 adalah (x1 - a) (x - a) + (y1 - b) (y - b) = r2
h. اعة المماس لنقطة الظل (x1 , y1) لى العصر x2 + y2 + Ax + By + C = 0 , x1x + y1y + A
1 (s + s 1) + b
1 (ذ +
2 2
y1) + C = 0
1. ل الظل الثلك الدايرتين ا r1 dan r2 r1> r2 المسافة القربين = d اوي
(d) 2? ? (ص ) 2
1 2
y. ل الظل النظرين المعلومات ايرتين الراين r1 r2 المسافة الجديدين d
d. penting
لفهم المعالة ا اسم التحميل التحميلي , ل العربية العربية
1. tentang امة اءة الشروت
) له P (3, -4) O (0,0)
) للنقطتين K (3,1) dan L (-1,3) البيقة لى الخط 3x-y-2 = 0.
2. اوجد الدراءة ا اعدة المعدلة x2 + y2 + 8x + 4y + 4 = 0.
3. اوجد اعة المعدنية K (1,1), L (1, -1) dan M (2,0)
4. اوجد اعدة k اسلة ان الخط y = kx الدايرة x2 + y2 -10x + 16 = 0
)
b) persimpangan
c) La Tarran
5. اوجد امة الماس المر البالنقطة O (0,0) لى الدرائة x2 + y2 - 6x - 2y + 8 = 0
6. Diketahui ada dua buah roda yang jaraknya 78 cm, diameter roda pertama 50 cm, dan roda kedua 20 cm. السلاسلة لسة لتا العجلتين. Tentang ul السيلسلة المتسلة العجلة.
d. لى المحمدة
Jika Anda memiliki masalah dalam menyelesaikan pertanyaan pelatihan, Anda dapat mengikuti petunjuk di bawah ini. Jika Anda dapat menjawab, maka cocokkan jawaban Anda dengan kunci di bawah ini.
1. ) اعة الدرائة است المركز P (3 , -4) المرور عبر O (0,0) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25. لة OP كنصف قطر b) اجعل المعدلة هي الدرة x2 + y2 + Ax لـ + C = 0,
1 1
Dimana pusat lingkaran P),
(? A? B. ات النقطتين K
2 2
L اعة اءة ات P
استدرفه في السطر 3x - y –2 = 0. اجل لى لى المعدلات الخطية 3 persamaan dan 3 variabel, وهي A و B dan C. ل نزيم المعدلات التصفود و / الدلعة, ل ل , b = -8 , = 10.
Jadi persamaan lautan adalah x2 + y2 - 4x - 8y +10 = 0.
2. Anda dapat mengubah persamaan lingkaran menjadi
5
(s + 2 5) 2 + (ص + 4) 2 = 4 25
3. Misalkan persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + Ax atau + C = 0. Alih-alih koordinat titik P, Q dan R dalam persamaan lingkaran, sehingga Anda mendapatkan sistem persamaan linier yang terdiri dari 3 persamaan dan 3 variabel, solusi A, B dan C juga selanjutnya التصفدون / او الدلعم لتحسل لى A = -2 و B = 0 dan C = 0.
Jadi persamaan lautan adalah x2 + y2 - 2x = 0
4. Asumsikan garis tersebut berpotongan, maka diperoleh persamaan x, yaitu x2 + k2 x2 - 10x + 16 = 0
(1 + k2) x2 –10x + 16 = 0 ، المميز في هذه المعادلة هو D = (6-8k) (6 + 8k).
الخطوط والدوائر:
3 3
أ) يتقاطع ، إذا كانت D> 0 ، تحصل على - 4 <ك <4
3 3
ب) الظل ، إذا كانت D = 0 ، نحصل على k = - 4 ok = 4
3 3
ج) لا تتقاطع ، إذا كانت D <0 نحصل على k <- 4 ok> 4
5. لاحظ أن النقطة O (0،0) تقع خارج الدائرة. كيف ذلك؟ على سبيل المثال ، إذا كان الظل الذي تبحث عنه مماسًا للمحيط عند النقطة S (أ ، ب) ، فإن معادلة الظل هي
الفأس + دي - 3 (س + أ) - (ص + ب) +8 = 0
(أ - 3) س + (ب - 1) ص –3 أ - ب + 8 = 0
هذا الظل يمر من خلال (0،0) ، لذلك –3a –b + 8 = 0
ب = 8 - 3 أ (1)
S (a، b) على دائرة ، لذا a2 + b2 - 6a - 2b + 8 = 0 (2) التعويض (1) في (2) ينتج a2 + (8 - 3a) 2 - 6a - 2 (8 - 3a) ) + 8 = 0
أ 2 + 64 - 48 أ + 9 أ 2 - 6 أ - 16+ 6 أ + 8 = 0
10a2 -48a + 56 = 0
(2 أ - 4) (5 أ - 14) = 0
14 2
a = 2 oppure a = 5 ، di conseguenza b = 2 oppure b = -5
Quindi l'equazione della retta tangente è y = xox + 7 y = 0
6. La Lunghezza della catena che non è attaccata alla ruota è la lunghezza della tangente esterna.
Lunghezza catena = 2
(د) 2؟ ؟ (ص ص)
1 2
=) 78 (2 (30) 2
= 60 سم
ه. بروفا فورماتيفا
1. Trova l'equazione della circonferenza che passa per i punti (3،4)، (5،0) e (0،5).
2. Trova l'equazione della tangente alla circonferenza x2 + y2 = 100 che passa per il punto (6.8)
3. تحديد مركز المعلومات الخاص بالركب x2 + y2 + 8x - 6y = 0 مؤهلات المشاركة في البحث؟
4. تحديد la lunghezza della tangente comune esterna tra il cerchio x2 + y2 = 4 e x2 + y2 - 20x + 36 = 0
F. اختبار Chiave di risposta al formativo
1. Diciamo che l'equazione di una circonferenza che passa per i punti (3،4)، (5،0) e (-5.0)، è x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Punto (3،4) su il cerchio: 9+ 16 + 3A + 4B + C = 0 o 3A + 4B + C = -25
بونتو (5.0) سول سيرشيو: 25 + 0 + 5A + 0 + C = 0 o 5A + C = -25
Il punto (0،5) sul cerchio: 25 + 0 - 5A + 0 + C = 0 o –5A + C = -25. Dalle tre equazioni sopra ، otteniamo A = 0 ، B = 0 e C = -25
Quindi l'equazione della circonferenza è x2 + y2 - 25 = 0
2. Il punto (6.8) sulla circonferenza x2 + y2 = 10 L'equazione della tangente alla circonferenza x2 + y2 = 100 che passa per il punto (6.8) è 6x + 8y = 100 o 3x + 4y = 50
3. L'equazione x2 + y2 +8x – 6y = 0 può essere modificata in
x2 + 8x + y2 – 6y = 0
x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9= 16 + 9
(x + 4)2 + (y - 4)2 = 25 Quindi centro (-4, 3 ) e raggio = 5
Puoi anche usare altri metodi.
4. Lingkaran x2 + y2 = 4 pusatnya (0,0) dan jari -jarinya 2
x2 + y2 - 20x + 36 = 0 pusatnya (10, 0) dan jari -jarinya 8 Jarak kedua pusat = 10
Panjang garis singgung luar = 2
(d)2 ?? (rr) 1 2
= (10)2 ? ؟ (8 2)2
= 8
2. Kegiatan Belajar 2: Ellips
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, diharapkan anda dapat: ? Memahami unsur-unsur ellips
؟ Menentukan persamaan ellips jika pusat dan jari-jarinya diketahaui. ؟ Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan ellips.
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Ellips. Buatlah model kerucut dari kertas manila, kemudian potong menurut bidang tidak sejajar bidang alas tetapi tidak memotong bidang alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang terpotong? Permukaan kerucut yang terpotong berbentuk ellips.
Dalam matematika ellips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Ellips.
UNSUR-UNSUR ELLIPS
Keterangan:
Titik O disebut koordinat titik pusat ellips Titik A, B, C dan D disebut koordinat titiktitik puncak ellips
Titik F1 dan F2 disebut koordinat titik-titik fokus ellips
AB dan CD berturut-turut disebut
sumbu mayor (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumbu pendek)
AB = TF1 +TF2
MAT. 10. Irisan Kerucut 25
PERSAMAAN ELLIPS DENGAN PUSAT DI O(0,0)
Misalkan F1F2 = 2c , merupakan jarak antara dua titik fokus. Maka F1(c,0) dan F2(-c,0). Misalkan jumlah jarak yang tetap itu adalah 2a.
Ambil sebarang titik pada ellips misal T(x1 ,y1) dan titik O sebagai pusat ellips.
Berdasarkan definisi ellips, yaitu:
TF1 + TF2 = 2a
؟ 2
2 2
( x 1 ? c)? y + 2
( x1 ? c)? y = 2a
1 1
؟ 2
2 2
(x1 ? c)? y= 2a -2
(x1 ? c)? y, jika kedua ruas dikuadratkan didapat
1 1
(x1-c)2 + y12 = 4a2 + (x1+ c)2 + y12 –4a
2 2
( x1 ? ? c)y 1
؟ (x12 –2x1c + c2) + y12 = 4a2 + (x12 + 2x1c + c) + c2 – 4a2
2
(x1 ? ? c)y 1
2
؟ -4x1c - 4a2 = –4a2
(x1 ? c)? y, jika kedua ruas dibagi -4 didapat
1
؟ (x1c + a2)2 = a2 {(x1+ c)2 + y12}, jika kedua ruas dikuadratkan didapat ? x12c2 + a4 + 2x1ca2 = a2 (x12 + 2x1c + c2) + a2y12
؟ a2 (a2 – c2) = (a2 – c2)x12 + a2y12
Karena a > c maka a2 – c2 > 0 sehingga kita dapat memisalkan a2 – c2 = b2 sehingga persamaan di atas menjadi
؟ b2 x12 + a2y12 = a2 b2
2 2
xy
؟ 1 ? 1 ?
2 2
ab
Karena T(x1,y1) adalah titik yang diambil, maka setiap titik itu memenuhi:
2 2
y
x dan
؟ 2 1
؟ c disebut eksentrisitas numerik dan ditulis e. Karena
2
aba
a>c maka 0 < e < 1.
2 2
xy
Persamaan ellips dengan pusat di O(0,0) adalah 2 1
؟ ؟
2
ab
Contoh 1
Tentukan persamaan ellips yang berpusat di O(0,0) dengan sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut:
a. 8 dan 6 b. 4 dan 2
Penyelesaian
a. Sumbu panjang = 8, berarti a = 4. Sumbu pendek = 6, berarti b = 3
2 2
xy ? ؟
b. Sumbu panjang = 4, berarti a = 2. Sumbu pendek = 2, berarti b = 1
2 2
xy ? ؟
4 1
Contoh 2
Tentukan persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x, simetri
3
terhadap titik O, sumbu panjangnya 20 dan eksentrisitas numerik e = 5 .
Penyelesaian
Sumbu panjang 2a = 20, berarti a = 10
3 c 3
e = 5 , berarti = 5 . Karena a = 10, dengan demikian c =6
a a2 – c2 = b2
b2 = 100 – 36 atau b2 = 64
b = 8, mengapa –8 tidak digunakan?
2 2
Jadi persamaan ellips adalah 1
xy ? ؟ 100 64
MAT. 10. Irisan Kerucut 27
PERSAMAAN ELLIPS DENGAN PUSAT TIDAK PADA (0,0)
Contoh 3
Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (3 , -2) dengan sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 6 dan 4.
Penyelesaian
Sumbu panjang = 6, berarti a = 3 Sumbu pendek = 4, berarti b = 2
2 ( )
x?
؟
Jadi persamaan ellipsnya adalah 2
to
2 2
( 3)
xy ? ( 2)
؟
؟ 1
؟ ؟
2 2
32
(3)2 2
xy ? (2)
؟
؟ 1
؟ ؟
9 4
SKETSA ELLIPS
Dapatkah anda membuat gambar ellips? Buatlah dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Gambarlah di bukumu titik F1, F2 dan panjang 2a > F1F2. Tentukan titik A dan B pada perpanjangan garis F1F2 sedemikian hingga F2B = F1A dan AB = 2a
2. F2B= F1A = (2a - F1F2)
3. Titik Ti diperoleh sebagai berikut:
a) Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F1A
b) Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari 2a - ri
c) Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.
d) Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2 dan sebaliknya. Akan didapat titik-titik C dan D yang memenuhi definisi ellips. Hubungkan titik-titik itu dengan kurva mulus akan didapat sketsa ellips
Bermain
Sediakan 2 paku pines, kapur tulis atau spidol papan dan tali secukupnya. Tancapkan 2 paku pines pada papan. Gunting tali dengan panjang lebih dari jarak kedua pines. Ikat ujung tali pada masing-masing pines (tali pada posisi kendor). Ambil kapur tulis atau spidol papan dan letakkan menempel tali pada posisi bagian dalam tali dan pines. Gerakan kapur atau spidol menelusuri tali maka akan tergambar ellips. Silahkan mencoba!
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS
Garis singgung ellips adalah suatu garis yang memotong ellips tepat pada satu titik.
a. Gradien diketahui
Misal persamaan garis singgung: y = mx + k
2 2
xy
Sehingga ada satu titik pada ellips: 2 1
؟ ؟ yang memenuhi
2
ab
persamaan garis singgung di atas. Akibatnya:
2 2
x ()
mxk
؟
؟ 1
2 2
؟ b
to
؟ b2x2 + a2 (mx + k)2 = a2b2 ; jika kedua ruas dikalikan a2b2 didapat
؟ b2 x2 + a2 (m2x2 + k2 + 2mkx) = a2b2
؟ (b 2 + a2 m2)x2 + a2k2 + 2a2mkx - a2b2 = 0 ? (b 2 + a2 m2)x2 + 2a2mkx + a2(k2 - b2) = 0
Garis akan menyinggung ellips, jika titik-titik potong berimpit atau memotong di satu titik. Hal ini terjadi apabila persamaan kuadrat di atas mempunyai dua akar yang sama atau apabila diskriminannya sama dengan nol.
D = 0
Contoh 4
2 2
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 1
x ? y ? , jika garis
16 9
singgung itu membentuk sudut 45o dengan sumbu x positip.
Penyelesaian
Garis singgung itu membentuk sudut 45o dengan sumbu x positip berarti gradien m = tg 45o = 1.
Persamaan garis singgungnya y = mx ? b? 2 a2m2
y = 1. x ?
y = x ? 5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = x + 5 atau y = x – 5
Contoh 5
Carilah persamaan garis singgung pada ellips x2 + 4y2 = 20 yang tegak lurus ke garis 2x – 2y –13 = 0.
Penyelesaian
2x – 2y –13 = 0
y = (2x –13)/2
13
y = x - 2
Jadi gradien garis 2x – 2y –13 = 0 adalah m1 = 1. Karena garis singgung tegak lurus garis 2x – 2y –13 = 0, maka gradien garis singgung:
1
m2 = - = -1.
m1
2 2
Persamaan ellips x2 + 4y2 = 20 dapat diubah menjadi 1
xy ? ؟ 20 5
dengan membagi kedua ruas dengan 20.
Persamaan garis singgungnya adalah y = mx ? b? 2 a2m2
y = -1. x ? 5? 20 y = - x ? 5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y + x - 5= 0 atau y + x + 5= 0
GARIS SINGGUNG UNTUK LINGKARAN YANG TIDAK BERPUSAT DI (0,0)
Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgung lingkaran yang tidak berpusat di (0,0) misal di (? ,?) yaitu
y- ? = m(x-? ) ? b? 2 a2m 2
Contoh 6
(3)2 2
x, ? y
(2)
؟
Tentukan persmaan garis singgung pada ellips 1
?? 169
jika garis singgung itu membentuk sudut 135o dengan sumbu x positip. Penyelesaian
Garis singgung itu membentuk sudut 135o dengan sumbu x positip berarti gradien m = tg 135o = -1.
Persamaan garis singgungnya y- ? = m(x -? ) ? b? 2 a2m2
y + 2 = -1(x –3) ? 32 ? ؟ 42(1)2 y + 2 = -x + 3 ?5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y + x = 6 atau y + x + 4 = 0
b. Titik singgungnya diketahui Misal titik singgungnya di T (x1,y1) dan P (x2,y2) suatu titik pada ellips, sedangkan persamaan ellips:
1 maka berlaku:
1 ……… (1) dan
x 2 y
؟ 2 ? 1
………………………….(2)
2 2
ab
MAT. 10. Irisan Kerucut 32
Dari persamaan (1) dan (2) didapat:
b2 x12 + a2y12 = b2 x22 + a2y22 b2 (x12 - x22) = -a2 (y12 - y22 )
b2 (x1 + x2) (x1 - x2) = -a2 (y1 + y2 ) (y1 - y2)
2 ??
bxx
( )yy ?
1 2 1 2
؟ ……………………………… (3)
2
ayy
( )
؟ xx
؟
1 2 1 2
Karena persamaan garis yang melalui titik Tdan P adalah:
yy
1 2
؟ ( x – x1), substitusi (3 ) pada persamaan ini dida pat
y- y1 =
xx
؟
1 2
2
bxx ( )
1 2
?? ( x – x1) ;
y- y1 = 2 ayy
( )
؟
1 2
Jika P mendekati T sedemikian P sangat dekat dengan T, maka hampir x2 = x1 dan y2 = y1, dimana TP = 0.
2
1
؟ bx ( x – x1)
(2 )
y- y1 = 2 ay
(2 )
1
a2y1y – a2 y12 + b2 x1x – b2x12 = 0 ; kedua ruas dikalikan a2 a2y1y + b2 x1x – (a2 y12 + b2x12 ) = 0
a2y1y + b2 x1x – a2 b2 = 0
a2y1y + b2 x1x = a2 b2
Jadi persamaan garis singgung di titik singgung (x1,y1) adalah:
xx yy
1
1 ? b ?
2 1
2
to
Contoh 7
2 2
Carilah persamaan garis singgung pada ellips 1
xy di titik yang
؟ ؟
30 24
absisnya 5. Penyelesaian
Titik-titik pada ellips yang absisnya 5, ordinatnya diperoleh dari
25 2 y ?
30 24
y2 = 4
y = ? 2
Jadi titik singgungnya P(5,2) dan Q(5, -2)
5 xy ? ؟
2
Persamaan garis singgung di P adalah 1 30 24
5 xy ? ؟
2
Persamaan garis singgung di Q adalah 1 30 24
Garis singgung ellips yang tidak berpusat di (? ,) ?
Dengan cara yang sama seperti di atas, untuk ellips
2 2 ()()
؟ y
x? ؟ , maka persamaan garis singgung di titik
؟
?? 1
2 2
ab
singgung (x1,y1) adalah:
()() ()()
x? ؟ x? ؟
؟ ؟ yy
؟ ؟
1 ?
1
؟ 1
2 2
ab
Contoh 8
(2)2 2
x? y di
(3)
؟
Carilah persamaan garis singgung pada ellips 1 ??
20 5
titik yang ordinatnya –2.
Penyelesaian
Titik-titik pada ellips yang ordinatnya –2, diperoleh absis
(2)2 2
x? (23)
??
؟ ؟ 1
20 5
(2 2)
x? , kedua ruas dikalikan 20 didapat
1
؟ ؟ 1
20 5
(x – 2)2 + 4 = 20
x2 – 4x + 4 + 4 = 20 x2 – 4x –12 = 0
(x –6)(x + 2) = 0 x = 6 atau x = -2
Jadi titik singgungnya A(6, -2) dan B (-2,-2)
؟ xy ?
)(26(? 2) (23)(3)
?? ؟
Persamaan garis singgung di A = 1
؟
205
(4? 2)
x? y, jika kedua ruas dikalikan 20 didapat
(3)
؟
؟ 1
20 5
4(x – 2) + 4(y + 3) = 20 4x + 4y = 16 x + y = 4
؟ xy ?
)(26 (? 2) (23)(3)
؟ ؟ ؟
Persamaan garis singgung di A= 1
؟
205
(4? 2)
x? y, jika kedua ruas dikalikan 20 didapat
(3)
؟
؟ 1
20 5
4(x – 2) + 4(y + 3) = 20
4x + 4y = 16
x + y = 4
Persamaan garis singgung di B adalah
?? xy ? )(22(2) (23)(3)
?? ؟
؟ ؟
20 5
?x?y
(4 2) ( 3)
؟
؟ ؟
20 5
1 , jika kedua ruas dikalikan 20 didapat
-4(x – 2) + 4(y + 3) = 20 -4x + 4y = 0 x + y = 0
C. Rankuman Kegiatan 2
2 2
xy ? Persamaan ellips dengan pusat di O(0,0) adalah 2
؟ ؟ 2
ab
؟ Parsamaan ellips melalui titik T(x1 ,y1) dan pusatnya di titik P( ?,) ?
adalah
2 2
() ()
x? ؟
؟ y?
؟ ؟ 1
2 2
ab
2 2
xy
c. Persamaan garis singgungnya m pada ellips adalah 2 1
؟ ؟ adalah
2
ab
y = mx ? b? 2 a2m2
د. persamaan garis singgung lingkaran yang tidak berpusat di (0,0) misal di (? , ? ) yaitu y- ? = m(x -? ) ? b? 2 a2m2
e. persamaan garis singgung di titik singgung xxyy
1
(x1,y1) pada ellips adalah 2 1
1 ? b ?
2
to
f. Persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada ellips
2 2
() ()
؟ y
x? ؟ , adalah ?
؟ ؟ 1
2 2
ab
()() ()()
x? ؟ x? ؟
؟ ؟ yy
؟ ؟
1 ?
1
؟ 1
2 2
ab
د. Tugas
Agar anda memahami materi ellips ini, kerjakan soal-soal berikut secara mandiri.
1. Tentukan persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x dan simetris terhadap O yang memenuhi syarat jarak kedua titik apinya adalah 4 dan jarak kedua garis arah arahnya adalah 5.
2. Tentukan koordinat titik-titik api dari ellips
2 2
xy ? ?1
. 100 36
2
3. Tentukan persamaan ellips yang eksentrisitas numeriknya e = 3 salah satu titik apinya F(6,0).
2 2
x
4. Tentukan nilai m sehin gga garis y = - x +m men yin ggun g elli ps 1. ? y ?
20 5
د. Kunci Jawaban Tugas
Apabila anda menemui kesulitan untuk menyelesaikan soal-soal di atas, petunjuk dapat mengikuti petunjuk penyelesaian.
1. Jarak kedua titik api adalah 2c = 4, berarti c=2. karena jarak kedua garis
a2
arahnya adalah 2 =5 maka a2 = c
5 dan karena c=2 maka a2
c 2
5 ? ؟
= 2 5
2
Pada ellips berlaku b2 = a2 – c2 , maka b2 = 5 – 4=1
Karena titik-titik api ellips terletak pada sumbu x dan simetris terhadap O
2 2
y
maka persamaan ellips berbentuk 2 1
x jadi persamaan ellips yang
؟ ؟
2
ab
2 2
ditanyakan adalah 1
xy ? ؟
5 1
2 2
2. Persamaan ellips 1
x ? y? berarti a = 10 dan b=6
100 36
Pada ellips berlaku b2 = a2 – c2, dengan demikian c = 8, ini berarti koordinat titik api F1(8,0) dan F2(-8,0)
2 c
3. Eksentrisitas numeriknya e = 3 = . Karena c = 6, maka a = 9
a a2 – c2 = b2
b2 = 81 – 36 atau b2 = 45
b = 45 , mengapa – 45 tidak digunakan?
2 2
Jadi persamaan ellips adalah 1
xy ? ؟
81 45
4. Gradien garis y = -x + p adalah -1 Persamaan garis singgung dengan gradien –1 adalah y = -x ? 5. Jadi p = 5
e.
Comments
Post a Comment